Номер 16.1, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.1. Углом какой четверти является угол:

1) $38^\circ$;

2) $196^\circ$;

3) $217^\circ$;

4) $-74^\circ$;

5) $-285^\circ$;

6) $\frac{3\pi}{5}$;

7) $\frac{7\pi}{6}$;

8) $\frac{7\pi}{4}$;

9) $-\frac{2\pi}{3}$;

10) $-\frac{16\pi}{9}$?

Для определения четверти, в которой находится угол, мы используем следующие диапазоны:

• I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$)
• II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$)
• III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$)
• IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$)

Для отрицательных углов мы находим соответствующий им положительный угол, прибавляя $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан) до тех пор, пока угол не станет положительным. Для углов в радианах удобно перевести их в градусы по формуле $1 \text{ радиан} = \frac{180^\circ}{\pi}$.

1) $38^\circ$
Угол $38^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.

2) $196^\circ$
Угол $196^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 196^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

3) $217^\circ$
Угол $217^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 217^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

4) $-74^\circ$
Для отрицательного угла $-74^\circ$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^\circ$:
$-74^\circ + 360^\circ = 286^\circ$.
Угол $286^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 286^\circ < 360^\circ$.
Ответ: IV четверть.

5) $-285^\circ$
Для отрицательного угла $-285^\circ$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $360^\circ$:
$-285^\circ + 360^\circ = 75^\circ$.
Угол $75^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 75^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.

6) $\frac{3\pi}{5}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{3\pi}{5} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.
Угол $108^\circ$ удовлетворяет неравенству $90^\circ < 108^\circ < 180^\circ$.
Ответ: II четверть.

7) $\frac{7\pi}{6}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{7\pi}{6} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 7 \cdot 30^\circ = 210^\circ$.
Угол $210^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

8) $\frac{7\pi}{4}$
Переведем угол из радианной меры в градусную:
$\frac{7\pi}{4} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{4} = 7 \cdot 45^\circ = 315^\circ$.
Угол $315^\circ$ удовлетворяет неравенству $270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$.
Ответ: IV четверть.

9) $-\frac{2\pi}{3}$
Для отрицательного угла $-\frac{2\pi}{3}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$:
$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = -\frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.
Переведем угол $\frac{4\pi}{3}$ в градусную меру:
$\frac{4\pi}{3} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$.
Угол $240^\circ$ удовлетворяет неравенству $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$.
Ответ: III четверть.

10) $-\frac{16\pi}{9}$
Для отрицательного угла $-\frac{16\pi}{9}$ найдем эквивалентный положительный угол, прибавив $2\pi$:
$-\frac{16\pi}{9} + 2\pi = -\frac{16\pi}{9} + \frac{18\pi}{9} = \frac{2\pi}{9}$.
Переведем угол $\frac{2\pi}{9}$ в градусную меру:
$\frac{2\pi}{9} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{9} = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.
Угол $40^\circ$ удовлетворяет неравенству $0^\circ < 40^\circ < 90^\circ$.
Ответ: I четверть.