Номер 16.2, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.2. Положительным или отрицательным числом является значение тригонометрической функции:

1) $ \sin 110^\circ $;

2) $ \cos 200^\circ $;

3) $ \operatorname{tg} 160^\circ $;

4) $ \sin (-280^\circ) $;

5) $ \operatorname{tg} (-75^\circ) $;

6) $ \operatorname{ctg} (-230^\circ) $;

7) $ \cos 2 $;

8) $ \sin (-3) $;

9) $ \operatorname{ctg} 1,7 $;

10) $ \operatorname{tg} 1 $;

11) $ \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{4} $;

12) $ \cos \frac{2\pi}{3} $?

1) sin 110°

Чтобы определить знак значения тригонометрической функции, нужно найти, в какой координатной четверти находится угол. Угол $110°$ находится в пределах от $90°$ до $180°$ ($90° < 110° < 180°$). Это вторая координатная четверть. В этой четверти значения функции синус являются положительными. Следовательно, $\sin 110° > 0$.

Ответ: положительным числом.

2) cos 200°

Угол $200°$ находится в пределах от $180°$ до $270°$ ($180° < 200° < 270°$). Это третья координатная четверть. В этой четверти значения функции косинус являются отрицательными. Следовательно, $\cos 200° < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

3) tg 160°

Угол $160°$ находится в пределах от $90°$ до $180°$ ($90° < 160° < 180°$). Это вторая координатная четверть. В этой четверти значения функции тангенс являются отрицательными. Следовательно, $\text{tg } 160° < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

4) sin (–280°)

Синус является нечетной функцией, то есть $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому $\sin(-280°) = -\sin(280°)$. Угол $280°$ находится в пределах от $270°$ до $360°$ ($270° < 280° < 360°$), что соответствует четвертой координатной четверти. В четвертой четверти синус отрицателен, значит $\sin(280°) < 0$. Тогда $\sin(-280°) = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Другой способ — найти положительный угол, соответствующий данному: $-280° + 360° = 80°$. Этот угол находится в первой четверти, где синус положителен.

Ответ: положительным числом.

5) tg (–75°)

Тангенс является нечетной функцией, то есть $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$. Поэтому $\text{tg}(-75°) = -\text{tg}(75°)$. Угол $75°$ находится в первой четверти ($0° < 75° < 90°$), где тангенс положителен. Значит, $\text{tg}(75°) > 0$. Тогда $\text{tg}(-75°) = -(\text{положительное число}) < 0$.
Также можно заметить, что угол $-75°$ находится в четвертой четверти, где тангенс отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

6) ctg (–230°)

Котангенс является нечетной функцией, то есть $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$. Поэтому $\text{ctg}(-230°) = -\text{ctg}(230°)$. Угол $230°$ находится в третьей четверти ($180° < 230° < 270°$), где котангенс положителен. Значит, $\text{ctg}(230°) > 0$. Тогда $\text{ctg}(-230°) = -(\text{положительное число}) < 0$.
Другой способ — найти положительный угол, соответствующий данному: $-230° + 360° = 130°$. Этот угол находится во второй четверти, где котангенс отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

7) cos 2

Если у угла не указаны градусы, значит, он измеряется в радианах. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Угол 2 радиана удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 2 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos 2 < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

8) sin (–3)

Угол дан в радианах. Синус — нечетная функция: $\sin(-3) = -\sin(3)$. Определим знак $\sin(3)$. Так как $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$, то угол 3 радиана находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$). Во второй четверти синус положителен, $\sin(3) > 0$. Следовательно, $\sin(-3) = -\sin(3) < 0$.
Также можно заметить, что угол $-3$ радиана находится в третьей четверти ($-\pi < -3 < -\pi/2$), где синус отрицателен.

Ответ: отрицательным числом.

9) ctg 1,7

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi/2 \approx 1,57$ и $\pi \approx 3,14$. Угол 1,7 радиана удовлетворяет неравенству $\pi/2 < 1,7 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg } 1,7 < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

10) tg 1

Угол дан в радианах. Используем приближенное значение $\pi/2 \approx 1,57$. Угол 1 радиан удовлетворяет неравенству $0 < 1 < \pi/2$. Это первая координатная четверть. В этой четверти все тригонометрические функции положительны. Следовательно, $\text{tg } 1 > 0$.

Ответ: положительным числом.

11) ctg (7π/4)

Определим, в какой четверти находится угол $7\pi/4$. Сравним его с границами четвертей: $3\pi/2 = 6\pi/4$ и $2\pi = 8\pi/4$. Получаем неравенство $3\pi/2 < 7\pi/4 < 2\pi$. Это четвертая координатная четверть. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg}(7\pi/4) < 0$.

Ответ: отрицательным числом.

12) cos (2π/3)

Определим, в какой четверти находится угол $2\pi/3$. Сравним его с границами четвертей: $\pi/2$ и $\pi$. Так как $2/3$ находится между $1/2$ и $1$, то $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$. Это вторая координатная четверть. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos(2\pi/3) < 0$. (Точное значение $\cos(2\pi/3) = -1/2$).

Ответ: отрицательным числом.