Номер 16.9, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.9. Известно, что $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \beta \cos \beta$;

2) $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}$;

3) $\frac{\text{tg}^3 \beta}{\sin \beta}$;

4) $\sin \beta + \cos \beta$.

Для решения задачи определим знаки тригонометрических функций в заданном интервале. Условие $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ означает, что угол $\beta$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

Таким образом, мы имеем: $\sin \beta < 0$, $\cos \beta < 0$ и $\operatorname{tg} \beta > 0$.

1) $\sin \beta \cos \beta$

Данное выражение представляет собой произведение синуса и косинуса. Поскольку в третьей четверти $\sin \beta < 0$ и $\cos \beta < 0$, их произведение будет положительным, так как произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.

$\sin \beta \cos \beta = (\text{отрицательное}) \cdot (\text{отрицательное}) = \text{положительное}$.

Следовательно, выражение больше нуля.

Ответ: $\sin \beta \cos \beta > 0$.

2) $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta}$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числитель: $\sin \beta < 0$.

Знаменатель: $\cos^2 \beta$ представляет собой квадрат косинуса. Так как в заданном интервале $\cos \beta \neq 0$, квадрат этого значения всегда будет положительным: $\cos^2 \beta > 0$.

При делении отрицательного числа (числитель) на положительное (знаменатель) результат будет отрицательным.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\frac{\sin \beta}{\cos^2 \beta} < 0$.

3) $\frac{\operatorname{tg}^3 \beta}{\sin \beta}$

Рассмотрим числитель и знаменатель дроби. Числитель: в третьей четверти $\operatorname{tg} \beta > 0$, следовательно, куб этого значения также будет положительным: $\operatorname{tg}^3 \beta > 0$.

Знаменатель: $\sin \beta < 0$.

При делении положительного числа (числитель) на отрицательное (знаменатель) результат будет отрицательным.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\frac{\operatorname{tg}^3 \beta}{\sin \beta} < 0$.

4) $\sin \beta + \cos \beta$

Данное выражение является суммой синуса и косинуса. В третьей четверти обе функции принимают отрицательные значения: $\sin \beta < 0$ и $\cos \beta < 0$.

Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.

Следовательно, выражение меньше нуля.

Ответ: $\sin \beta + \cos \beta < 0$.