Номер 16.8, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.8. Известно, что $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\sin \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha};$

3) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha};$

4) $\sin \alpha - \cos \alpha.$

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй тригонометрической четверти.

В этой четверти знаки основных тригонометрических функций следующие:
$\sin \alpha > 0$ (синус положителен),
$\cos \alpha < 0$ (косинус отрицателен),
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < 0$ (тангенс отрицателен).

Используя эту информацию, определим знак каждого из предложенных выражений.

1) $\sin \alpha \tg \alpha$
Данное выражение является произведением $\sin \alpha$ (положительное число) и $\tg \alpha$ (отрицательное число). Произведение чисел с разными знаками всегда отрицательно.
Следовательно, $\sin \alpha \tg \alpha < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

2) $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha}$
В этом выражении числитель $\sin^2 \alpha$ всегда положителен, так как это квадрат ненулевого числа (поскольку $\alpha$ находится во второй четверти, $\sin \alpha \neq 0$). Знаменатель $\cos \alpha$ отрицателен. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
Следовательно, $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

3) $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$
Числитель $\sin^3 \alpha$ положителен, так как $\sin \alpha > 0$. Знаменатель $\cos \alpha$ отрицателен. Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным.
Следовательно, $\frac{\sin^3 \alpha}{\cos \alpha} < 0$.
Ответ: значение выражения меньше нуля.

4) $\sin \alpha - \cos \alpha$
Это разность, где уменьшаемое $\sin \alpha$ положительно, а вычитаемое $\cos \alpha$ отрицательно. Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного: $\sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha + (-\cos \alpha)$. Поскольку $\cos \alpha < 0$, то $-\cos \alpha > 0$. Сумма двух положительных чисел ($\sin \alpha$ и $-\cos \alpha$) всегда положительна.
Следовательно, $\sin \alpha - \cos \alpha > 0$.
Ответ: значение выражения больше нуля.