Номер 16.3, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.3. Какой знак имеет:

1) $\text{tg } 104^{\circ}$;

2) $\cos 220^{\circ}$;

3) $\sin (-36^{\circ})$;

4) $\cos (-78^{\circ})$;

5) $\text{ctg } (-291^{\circ})$;

6) $\sin \frac{3\pi}{7}$;

7) $\cos \left(-\frac{13\pi}{12}\right)$;

8) $\text{ctg } \left(-\frac{19\pi}{12}\right)?$

1) tg 104°

Чтобы определить знак тангенса угла 104°, сначала определим, в какой координатной четверти находится этот угол. Так как $90° < 104° < 180°$, угол 104° находится во второй четверти. Во второй четверти синус положителен ($sin(x) > 0$), а косинус отрицателен ($cos(x) < 0$). Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$. Таким образом, $tg(104°)$ имеет знак $\frac{+}{-}$, то есть является отрицательным числом.

Ответ: минус.

2) cos 220°

Определим, в какой координатной четверти находится угол 220°. Так как $180° < 220° < 270°$, угол 220° находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус имеет отрицательный знак.

Ответ: минус.

3) sin(-36°)

Отрицательный угол -36° означает движение по часовой стрелке от начальной точки на 36°. Этот угол попадает в четвертую координатную четверть. В четвертой четверти синус отрицателен. Альтернативный способ — использовать свойство нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$. Следовательно, $sin(-36°) = -sin(36°)$. Угол 36° находится в первой четверти, где синус положителен. Значит, $-sin(36°)$ — отрицательное число.

Ответ: минус.

4) cos(-78°)

Угол -78° находится в четвертой координатной четверти. В этой четверти косинус положителен. Альтернативный способ — использовать свойство четности функции косинус: $cos(-x) = cos(x)$. Следовательно, $cos(-78°) = cos(78°)$. Угол 78° находится в первой четверти, где косинус положителен.

Ответ: плюс.

5) ctg(-291°)

Чтобы определить знак, можно найти положительный угол, сонаправленный с данным, прибавив 360°: $-291° + 360° = 69°$. Угол 69° находится в первой координатной четверти. В первой четверти все тригонометрические функции, включая котангенс, положительны. Следовательно, $ctg(-291°)$ имеет положительный знак.

Ответ: плюс.

6) sin $\frac{3\pi}{7}$

Определим, в какой четверти находится угол $\frac{3\pi}{7}$ радиан. Сравним его с граничными значениями первой четверти: $0$ и $\frac{\pi}{2}$. Представим $\frac{\pi}{2}$ в виде дроби со знаменателем 7: $\frac{\pi}{2} = \frac{3.5\pi}{7}$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{3.5\pi}{7}$, то $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$. Угол находится в первой четверти, где синус положителен.

Ответ: плюс.

7) cos $(-\frac{13\pi}{12})$

Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\frac{13\pi}{12}) = cos(\frac{13\pi}{12})$. Теперь определим четверть для угла $\frac{13\pi}{12}$. Мы знаем, что $\pi = \frac{12\pi}{12}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{18\pi}{12}$. Поскольку $\frac{12\pi}{12} < \frac{13\pi}{12} < \frac{18\pi}{12}$, то $\pi < \frac{13\pi}{12} < \frac{3\pi}{2}$. Угол $\frac{13\pi}{12}$ находится в третьей четверти. В третьей четверти косинус отрицателен.

Ответ: минус.

8) ctg $(-\frac{19\pi}{12})$

Чтобы определить знак, найдем сонаправленный положительный угол. Для этого прибавим к данному углу $2\pi$ (полный оборот). $2\pi = \frac{24\pi}{12}$. $-\frac{19\pi}{12} + \frac{24\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$. Теперь определим четверть для угла $\frac{5\pi}{12}$. Сравним его с $\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi}{12}$. Так как $0 < \frac{5\pi}{12} < \frac{6\pi}{12}$, то $0 < \frac{5\pi}{12} < \frac{\pi}{2}$. Угол находится в первой четверти, где котангенс положителен.

Ответ: плюс.