Номер 16.10, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.10. Сравните:

1) $ \text{tg } 130^\circ $ и $ \text{tg } (-130^\circ) $;

2) $ \text{tg } 110^\circ $ и $ \text{tg } 193^\circ $;

3) $ \cos 80^\circ $ и $ \sin 330^\circ $;

4) $ \sin 60^\circ $ и $ \sin \frac{8\pi}{7} $;

5) $ \text{ctg } \frac{2\pi}{3} $ и $ \cos 280^\circ $;

6) $ \text{ctg } 6 $ и $ \text{ctg } 6^\circ $.

1) tg 130° и tg (-130°);

Для сравнения значений воспользуемся свойствами тригонометрических функций. Функция тангенс является нечетной, это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется равенство $tg(-\alpha) = -tg(\alpha)$. Применим это свойство к нашему случаю: $tg(-130°) = -tg(130°)$. Теперь определим знак $tg(130°)$. Угол $130°$ находится во второй координатной четверти ($90° < 130° < 180°$). Во второй четверти значения тангенса отрицательны, то есть $tg(130°) < 0$. Так как $tg(130°)$ — отрицательное число, то $-tg(130°)$ — положительное число. Следовательно, $tg(-130°) > 0$. Мы сравниваем отрицательное число $tg(130°)$ и положительное число $tg(-130°)$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Таким образом, $tg(130°) < tg(-130°)$.
Ответ: $tg(130°) < tg(-130°)$.

2) tg 110° и tg 193°;

Для сравнения этих значений определим, в каких координатных четвертях находятся углы и какие знаки имеет тангенс в этих четвертях.
Угол $110°$ находится во второй четверти ($90° < 110° < 180°$). Во второй четверти тангенс имеет отрицательный знак, следовательно, $tg(110°) < 0$.
Угол $193°$ находится в третьей четверти ($180° < 193° < 270°$). В третьей четверти тангенс имеет положительный знак, следовательно, $tg(193°) > 0$.
Сравнивая отрицательное число $tg(110°)$ с положительным числом $tg(193°)$, приходим к выводу, что $tg(110°) < tg(193°)$.
Ответ: $tg(110°) < tg(193°)$.

3) cos 80° и sin 330°;

Определим знаки каждого из выражений.
Угол $80°$ находится в первой четверти ($0° < 80° < 90°$). Косинус в первой четверти положителен, значит, $cos(80°) > 0$.
Угол $330°$ находится в четвертой четверти ($270° < 330° < 360°$). Синус в четвертой четверти отрицателен, значит, $sin(330°) < 0$.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $cos(80°) > sin(330°)$.
Ответ: $cos(80°) > sin(330°)$.

4) sin 60° и sin $\frac{8\pi}{7}$;

Определим знаки синусов для данных углов.
Угол $60°$ находится в первой четверти, где синус положителен: $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
Для угла $\frac{8\pi}{7}$ определим его положение на тригонометрической окружности. Так как $\pi = \frac{7\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$, то выполняется неравенство $\pi < \frac{8\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\frac{8\pi}{7}$ находится в третьей четверти. Синус в третьей четверти отрицателен: $sin(\frac{8\pi}{7}) < 0$.
Сравнивая положительное число $sin(60°)$ и отрицательное $sin(\frac{8\pi}{7})$, заключаем, что $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.
Ответ: $sin(60°) > sin(\frac{8\pi}{7})$.

5) ctg $\frac{2\pi}{3}$ и cos 280°;

Определим знаки каждого из выражений.
Угол $\frac{2\pi}{3}$ соответствует $120°$. Он находится во второй четверти ($\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$), где котангенс отрицателен: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < 0$.
Угол $280°$ находится в четвертой четверти ($270° < 280° < 360°$), где косинус положителен: $cos(280°) > 0$.
Сравнивая отрицательное и положительное числа, получаем, что $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.
Ответ: $ctg(\frac{2\pi}{3}) < cos(280°)$.

6) ctg 6 и ctg 6°;

В этом задании необходимо сравнить значения котангенса для угла, заданного в радианах ($6$) и в градусах ($6°$).
Угол $6°$ находится в первой четверти ($0° < 6° < 90°$), поэтому его котангенс является положительным числом: $ctg(6°) > 0$.
Теперь определим четверть для угла в $6$ радиан. Используем известные значения числа $\pi \approx 3.14159$.
Границы четвертой четверти в радианах: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$.
$\frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \times 3.14159}{2} \approx 4.712$
$2\pi \approx 2 \times 3.14159 \approx 6.283$
Поскольку $4.712 < 6 < 6.283$, угол в 6 радиан находится в четвертой координатной четверти. Котангенс в этой четверти отрицателен: $ctg(6) < 0$.
Сравнивая отрицательное число $ctg(6)$ и положительное число $ctg(6°)$, приходим к выводу, что $ctg(6) < ctg(6°)$.
Ответ: $ctg(6) < ctg(6°)$.