Номер 16.17, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16.17. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x;$

2) $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x};$

3) $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1};$

4) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1};$

5) $f(x) = \cos x + \frac{\pi}{3};$

6) $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}.$

1) Для исследования функции $f(x) = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x$ на четность необходимо выполнить два шага: проверить симметричность области определения и проверить соотношение между $f(-x)$ и $f(x)$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Функция $\operatorname{ctg} x$ определена для всех $x$, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения $D(f)$ функции $f(x)$ состоит из всех действительных чисел, кроме $x = \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.
Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как если $x_0$ принадлежит $D(f)$, то и $-x_0$ также принадлежит $D(f)$.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \operatorname{tg}(-x) + \operatorname{ctg}(-x)$.
Используем свойства нечетности тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$.
$f(-x) = (-\operatorname{tg} x) + (-\operatorname{ctg} x) = -(\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x)$.
Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Это означает, что функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

2) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sin x - \operatorname{tg} x \neq 0$.
$\sin x - \frac{\sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \frac{\sin x \cos x - \sin x}{\cos x} \neq 0 \implies \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x} \neq 0$.
Это условие выполняется, когда $\sin x \neq 0$ (т.е. $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$) и $\cos x \neq 1$ (т.е. $x \neq 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$).
Объединяя все ограничения, получаем, что область определения $D(f)$ — это все $x$, для которых $x \neq \frac{\pi j}{2}$ для любого целого $j$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)}{\sin(-x) - \operatorname{tg}(-x)}$.
Так как $\sin x$ и $\operatorname{tg} x$ являются нечетными функциями, то $\sin(-x) = -\sin x$ и $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$.
$f(-x) = \frac{-\sin x - \operatorname{tg} x}{-\sin x - (-\operatorname{tg} x)} = \frac{-(\sin x + \operatorname{tg} x)}{-(\sin x - \operatorname{tg} x)} = \frac{\sin x + \operatorname{tg} x}{\sin x - \operatorname{tg} x}$.
Получили, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.
Ответ: функция четная.

3) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
1. Область определения.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{\cos(-x)}{(-x)^2 - 1}$.
Функция $\cos x$ является четной, поэтому $\cos(-x) = \cos x$. Функция $y=x^2$ также четная, поэтому $(-x)^2 = x^2$.
$f(-x) = \frac{\cos x}{x^2 - 1}$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$, что означает, что функция является четной.
Ответ: функция четная.

4) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{x^3 - 1}$.
1. Область определения.
Функция $\operatorname{tg} x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 1 \neq 0 \implies x^3 \neq 1 \implies x \neq 1$.
Область определения $D(f)$ состоит из всех действительных чисел, за исключением $x = 1$ и $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Проверим симметричность области определения. Точка $x = 1$ не принадлежит $D(f)$. Проверим точку $x = -1$. Так как $-1 \neq 1$ и $-1 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ (поскольку $-1/\pi - 1/2$ не целое), то точка $x = -1$ принадлежит $D(f)$.
Поскольку область определения $D(f)$ не является симметричной относительно начала координат ($1 \notin D(f)$, но $-1 \in D(f)$), функция не может быть ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

5) Исследуем на четность функцию $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.
1. Область определения.
Область определения функции косинус — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \cos(-x + \frac{\pi}{3}) = \cos(-(x - \frac{\pi}{3}))$.
Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем: $f(-x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$. Равенство $f(-x) = f(x)$ свелось бы к $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$. Это равенство не выполняется для всех $x$ (например, для $x=\pi/6$, $\cos(\pi/6) \neq \cos(\pi/2)$). Значит, функция не является четной.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$. Равенство $f(-x) = -f(x)$ свелось бы к $\cos(x - \frac{\pi}{3}) = -\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Это равенство также не выполняется для всех $x$ (например, для $x=0$, $\cos(-\pi/3) \neq -\cos(\pi/3)$). Значит, функция не является нечетной.
Так как ни одно из условий четности или нечетности не выполняется, функция является функцией общего вида.
Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

6) Исследуем на четность функцию $f(x) = \frac{(x^2 - 1)\operatorname{ctg} x}{x^2 - 1}$.
1. Область определения.
Прежде чем упрощать выражение, необходимо найти область определения исходной функции.
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1$.
Функция $\operatorname{ctg} x$ определена при $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Область определения $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = \pm 1$ и $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эта область является симметричной относительно нуля.
2. Проверка на четность/нечетность.
На всей области определения $D(f)$ можно сократить дробь на $(x^2 - 1)$, так как этот множитель не равен нулю. $f(x) = \operatorname{ctg} x$ для всех $x \in D(f)$.
Теперь исследуем на четность функцию $g(x) = \operatorname{ctg} x$ на области $D(f)$.
$g(-x) = \operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x = -g(x)$.
Поскольку $f(x) = g(x)$ на $D(f)$, то и $f(-x) = -f(x)$ для всех $x \in D(f)$.
Следовательно, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.