Номер 4, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Какое число является главным периодом функции $y = \sin x$? $y = \cos x$? $y = \operatorname{tg} x$? $y = \operatorname{ctg} x$?

y = sin x
Главный период (наименьший положительный период) функции $y = f(x)$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого при любом $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.
Для функции синуса значения повторяются каждые $2\pi$ радиан, что соответствует полному обороту на единичной окружности. Поэтому равенство $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ справедливо для любого $x$. Это означает, что $2\pi$ является периодом функции. Чтобы доказать, что это наименьший положительный период, предположим, что существует период $T_0$, такой что $0 < T_0 < 2\pi$. Тогда должно выполняться равенство $\sin(x + T_0) = \sin x$ для всех $x$. Возьмем $x = \frac{\pi}{2}$. Получим $\sin(\frac{\pi}{2} + T_0) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это возможно, только если $\frac{\pi}{2} + T_0 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого целого $k$. Отсюда $T_0 = 2\pi k$. Но так как $0 < T_0 < 2\pi$, то для $T_0$ нет подходящего целого $k > 0$. Следовательно, наименьший положительный период не может быть меньше $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

y = cos x
Как и для синуса, значения функции косинуса повторяются с периодом $2\pi$, то есть $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ для любого $x$. Чтобы доказать, что $2\pi$ — это главный период, предположим обратное: существует период $T_0$, где $0 < T_0 < 2\pi$. Тогда $\cos(x + T_0) = \cos x$ для всех $x$. При $x=0$ получаем $\cos(T_0) = \cos(0) = 1$. Решениями этого уравнения являются числа вида $T_0 = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Так как $T_0$ должно быть положительным, то наименьшее такое значение — $2\pi$ (при $k=1$). Это противоречит нашему предположению, что $T_0 < 2\pi$. Значит, главный период функции косинус равен $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

y = tg x
Для функции тангенса $y = \text{tg } x$ проверим период $T = \pi$. Используя формулы приведения, получаем: $\text{tg}(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \text{tg } x$. Равенство выполняется, значит, $\pi$ является периодом. Чтобы доказать, что это главный период, предположим, что существует меньший положительный период $T_0$, где $0 < T_0 < \pi$. Тогда $\text{tg}(x + T_0) = \text{tg } x$ для всех $x$. При $x=0$ имеем $\text{tg}(T_0) = \text{tg}(0) = 0$. Решениями уравнения $\text{tg}(T_0) = 0$ являются числа вида $T_0 = \pi k$, где $k$ — целое число. Наименьшее положительное решение — $\pi$ (при $k=1$), что противоречит предположению $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, главный период тангенса равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

y = ctg x
Для функции котангенса $y = \text{ctg } x$ так же, как и для тангенса, проверим период $T = \pi$: $\text{ctg}(x + \pi) = \frac{\cos(x+\pi)}{\sin(x+\pi)} = \frac{-\cos x}{-\sin x} = \text{ctg } x$. Это означает, что $\pi$ является периодом. Докажем, что он наименьший положительный. Предположим, что существует период $T_0$ такой, что $0 < T_0 < \pi$. Тогда $\text{ctg}(x + T_0) = \text{ctg } x$ для всех $x$. При $x=\frac{\pi}{2}$ имеем $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + T_0) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$. Решениями уравнения $\text{ctg}(\alpha) = 0$ являются $\alpha = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Таким образом, $\frac{\pi}{2} + T_0 = \frac{\pi}{2} + \pi k$, откуда $T_0 = \pi k$ для целого $k$. Наименьшее положительное решение — $\pi$, что противоречит предположению $0 < T_0 < \pi$. Следовательно, главный период котангенса равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.