Номер 2, страница 132 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2. Что такое период функции?

Функция $f(x)$ называется периодической, если существует такое число $T \neq 0$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство: $$f(x + T) = f(x)$$ При этом важно, чтобы числа $x + T$ и $x - T$ также принадлежали области определения функции.

Если число $T$ является периодом, то и любое число вида $nT$ (где $n$ — целое, не равное нулю) также будет периодом. Например, $f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x)$.

Наименьший положительный из всех периодов функции называется её основным периодом. В задачах, как правило, под "периодом" подразумевают именно основной период.

Графическая интерпретация
График периодической функции обладает свойством трансляционной симметрии. Он состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых фрагментов. Если взять часть графика на любом отрезке, длина которого равна основному периоду $T$ (например, на отрезке $[x_0, x_0+T]$), и сдвигать (транслировать) этот фрагмент вдоль оси абсцисс ($Ox$) на расстояния, кратные $T$, то в результате получится весь график функции.

Примеры

• Функции $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ имеют основной период $T = 2\pi$. Для них выполняется $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ и $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$.
• Функции $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ имеют основной период $T = \pi$. Для них выполняется $\tan(x + \pi) = \tan(x)$ и $\cot(x + \pi) = \cot(x)$.

Период функции $y = f(kx+b)$
Если известен основной период $T$ функции $f(x)$, то период функции, полученной из неё линейным преобразованием аргумента, $g(x) = f(kx + b)$, можно найти по формуле: $$T_g = \frac{T}{|k|}$$ Например, для функции $y = \cos(2x)$, основной период исходной функции $y = \cos(x)$ равен $T = 2\pi$, а коэффициент $k=2$. Следовательно, период функции $y = \cos(2x)$ будет равен $T_{new} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: Период функции — это ненулевое число $T$, такое, что значение функции не меняется при сдвиге её аргумента на $T$, то есть $f(x + T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Наименьший положительный такой период называется основным периодом. Периодичность означает, что график функции состоит из бесконечно повторяющихся одинаковых частей.