Страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Перечислите основные свойства функции $y = \operatorname{tg}x$.

Функция $y = \text{tg}\,x$ является одной из основных тригонометрических функций, определяемой как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Рассмотрим её основные свойства.

1. Область определения

Функция тангенса определена для всех значений аргумента $x$, при которых знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Следовательно, эти точки необходимо исключить из области определения.

Ответ: Область определения $D(y)$ — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

2. Область значений

Когда угол $x$ приближается к значениям $\frac{\pi}{2} + \pi k$, значение $\sin x$ стремится к $\pm 1$, а $\cos x$ стремится к нулю. В результате их отношение может принимать любые сколь угодно большие по модулю значения, как положительные, так и отрицательные. Таким образом, функция тангенса не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: Область значений $E(y)$ — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Периодичность

Функция тангенса является периодической. Используя формулы приведения, можно показать, что $\text{tg}(x + \pi) = \frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \text{tg}\,x$. Наименьший положительный период функции равен $\pi$.

Ответ: Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

4. Четность

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $\text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\text{tg}\,x$. Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция является нечетной.

5. Нули функции

Значение функции равно нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $\text{tg}\,x = 0$ при $\sin x = 0$. Решениями этого уравнения являются $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\cos x = \pm 1 \neq 0$, поэтому они являются нулями функции.

Ответ: Нули функции (точки пересечения графика с осью Ox) находятся в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6. Промежутки знакопостоянства

Знак тангенса зависит от знаков синуса и косинуса.
- $y > 0$ ($\text{tg}\,x > 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
- $y < 0$ ($\text{tg}\,x < 0$), когда $\sin x$ и $\cos x$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; $y < 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

7. Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

Производная функции $y = \text{tg}\,x$ равна $y' = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. Так как $\cos^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y'$ всегда положительна. Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: Функция строго возрастает на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. Промежутков убывания у функции нет.

8. Асимптоты

В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где функция не определена, ее график имеет вертикальные асимптоты. При приближении $x$ к этим значениям, модуль значения функции неограниченно возрастает ($y \to \pm \infty$).

Ответ: Прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика функции.

2. Перечислите основные свойства функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Область определения

Функция $y = \operatorname{ctg} x$ определяется как отношение $\frac{\cos x}{\sin x}$. Следовательно, она не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ обращается в нуль. Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Область определения — все действительные числа, кроме $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. В виде множества: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.

Область (множество) значений

Функция котангенс может принимать любые действительные значения. Когда $x$ приближается к точкам разрыва (например, к 0 справа), $\operatorname{ctg} x \to +\infty$. Когда $x$ приближается к точкам разрыва (например, к $\pi$ слева), $\operatorname{ctg} x \to -\infty$.

Ответ: Область значений — множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Периодичность

Функция является периодической. Наименьший положительный период $T = \pi$. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{ctg}(x + \pi) = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: Функция периодическая с главным периодом $T = \pi$.

Четность

Проверим значение функции для $-x$: $\operatorname{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\operatorname{ctg} x$. Так как выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ: Функция нечетная.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$ равносильно уравнению $\cos x = 0$ (при условии, что $\sin x \neq 0$). Решениями уравнения $\cos x = 0$ являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства

Знак функции $\operatorname{ctg} x$ зависит от знаков $\cos x$ и $\sin x$.

$\operatorname{ctg} x > 0$ (положительна), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях, то есть на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

$\operatorname{ctg} x < 0$ (отрицательна), когда $\cos x$ и $\sin x$ имеют разные знаки. Это происходит во II и IV координатных четвертях, то есть на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Функция положительна на интервалах $(\pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$, и отрицательна на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Монотонность (промежутки возрастания и убывания)

Производная функции: $y' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Так как $\sin^2 x > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $y' < 0$ всегда. Это означает, что функция монотонно убывает на каждом интервале своей области определения.

Ответ: Функция убывает на всей области определения, то есть на каждом из интервалов вида $(\pi n; \pi(n+1)), n \in \mathbb{Z}$.

Экстремумы

Поскольку производная функции $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ никогда не обращается в нуль и существует во всей области определения функции, у функции нет критических точек, а значит, нет и точек экстремума (максимумов и минимумов).

Ответ: Экстремумов нет.

Асимптоты

Функция имеет вертикальные асимптоты в точках разрыва, то есть там, где знаменатель $\sin x$ равен нулю. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Ответ: Вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

19.1. Проходит ли график функции $y = \text{tg}x$ через точку:

1) $A \left(-\frac{\pi}{4}; 1\right);$

2) $B \left(-\frac{\pi}{3}; -\sqrt{3}\right);$

3) $C (\pi; 0)?$

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $y = \tan x$ через заданную точку, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если равенство $y_0 = \tan x_0$ выполняется, то точка принадлежит графику.

1) $A(-\frac{\pi}{4}; 1)$

Подставим координаты точки $A$ в уравнение функции $y = \tan x$.

Получим: $1 = \tan(-\frac{\pi}{4})$.

Тангенс — нечетная функция, поэтому $\tan(-a) = -\tan(a)$.

Следовательно, $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4})$.

Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Тогда $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Получаем равенство $1 = -1$, которое является неверным.

Значит, график функции не проходит через точку $A$.

Ответ: не проходит.

2) $B(-\frac{\pi}{3}; -\sqrt{3})$

Подставим координаты точки $B$ в уравнение функции $y = \tan x$.

Получим: $-\sqrt{3} = \tan(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности тангенса: $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\tan(\frac{\pi}{3})$.

Известно, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Тогда $\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Получаем равенство $-\sqrt{3} = -\sqrt{3}$, которое является верным.

Значит, график функции проходит через точку $B$.

Ответ: проходит.

3) $C(\pi; 0)$

Подставим координаты точки $C$ в уравнение функции $y = \tan x$.

Получим: $0 = \tan(\pi)$.

Вычислим значение тангенса: $\tan(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$.

Получаем равенство $0 = 0$, которое является верным.

Значит, график функции проходит через точку $C$.

Ответ: проходит.

19.2. Проходит ли график функции $y = \operatorname{ctg} x$ через точку:

1) $A\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$;

2) $B\left(\frac{3\pi}{2}; 0\right)$;

3) $C\left(\frac{4\pi}{3}; \sqrt{3}\right)?$

Для того чтобы проверить, проходит ли график функции $y = \text{ctg} \, x$ через указанную точку, нужно подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

1) $A(\frac{\pi}{4}; 1)$

Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 1$ в уравнение $y = \text{ctg} \, x$:

$1 = \text{ctg}(\frac{\pi}{4})$

Это верное равенство, так как значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно 1.

Следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: да, проходит.

2) $B(\frac{3\pi}{2}; 0)$

Подставляем $x = \frac{3\pi}{2}$ и $y = 0$ в уравнение $y = \text{ctg} \, x$:

$0 = \text{ctg}(\frac{3\pi}{2})$

Для проверки вычислим значение котангенса. По определению, $\text{ctg} \, x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$.

Полученное равенство $0 = 0$ является верным.

Следовательно, график функции проходит через точку B.

Ответ: да, проходит.

3) $C(\frac{4\pi}{3}; \sqrt{3})$

Подставляем $x = \frac{4\pi}{3}$ и $y = \sqrt{3}$ в уравнение $y = \text{ctg} \, x$:

$\sqrt{3} = \text{ctg}(\frac{4\pi}{3})$

Для проверки вычислим значение котангенса. Используем формулу приведения: $\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg} \, \alpha$.

$\text{ctg}(\frac{4\pi}{3}) = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3})$.

Значение $\text{ctg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Получаем равенство: $\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это равенство неверно.

Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: нет, не проходит.

19.3. Какие из чисел $\frac{\pi}{2}$, $0$, $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $2\pi$, $-\frac{5\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$:

1) являются нулями функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$?

1) являются нулями функции y = ctg x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 0$.

По определению, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Приравняем числитель к нулю: $\cos x = 0$.

Это уравнение имеет решения вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $x$ знаменатель $\sin x$ равен $1$ или $-1$, то есть не равен нулю, значит условие выполняется.

Теперь проверим, какие из предложенных чисел удовлетворяют этому условию:

• $x = \frac{\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
• $x = 0$. Не подходит, так как $\cos(0)=1 \neq 0$.
• $x = -\frac{\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=-1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
• $x = \frac{3\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
• $x = -\pi$. Не подходит, так как $\cos(-\pi)=-1 \neq 0$.
• $x = 2\pi$. Не подходит, так как $\cos(2\pi)=1 \neq 0$.
• $x = -\frac{5\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=-3$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-3) = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$.
• $x = \frac{\pi}{4}$. Не подходит, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 \neq 0$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$.

2) не принадлежат области определения функции y = ctg x?

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена).

Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю (так как на ноль делить нельзя).

Найдем значения $x$, при которых $\sin x = 0$.

Это уравнение имеет решения вида $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь проверим, какие из предложенных чисел имеют такой вид:

• $x = \frac{\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = 0$. Подходит, так как при $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
• $x = -\frac{\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = \frac{3\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = -\pi$. Подходит, так как при $n=-1$ получаем $x = \pi \cdot (-1) = -\pi$.
• $x = 2\pi$. Подходит, так как при $n=2$ получаем $x = \pi \cdot 2 = 2\pi$.
• $x = -\frac{5\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = \frac{\pi}{4}$. Не подходит.

Ответ: $0, -\pi, 2\pi$.