Номер 19.3, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

19.3. Какие из чисел $\frac{\pi}{2}$, $0$, $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $-\pi$, $2\pi$, $-\frac{5\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$:

1) являются нулями функции $y = \operatorname{ctg} x$;

2) не принадлежат области определения функции $y = \operatorname{ctg} x$?

1) являются нулями функции y = ctg x;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для функции $y = \operatorname{ctg} x$ нам нужно найти значения $x$, для которых $\operatorname{ctg} x = 0$.

По определению, $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Приравняем числитель к нулю: $\cos x = 0$.

Это уравнение имеет решения вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). При этих значениях $x$ знаменатель $\sin x$ равен $1$ или $-1$, то есть не равен нулю, значит условие выполняется.

Теперь проверим, какие из предложенных чисел удовлетворяют этому условию:

• $x = \frac{\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=0$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$.
• $x = 0$. Не подходит, так как $\cos(0)=1 \neq 0$.
• $x = -\frac{\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=-1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{2}$.
• $x = \frac{3\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=1$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.
• $x = -\pi$. Не подходит, так как $\cos(-\pi)=-1 \neq 0$.
• $x = 2\pi$. Не подходит, так как $\cos(2\pi)=1 \neq 0$.
• $x = -\frac{5\pi}{2}$. Подходит, так как при $k=-3$ получаем $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-3) = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2}$.
• $x = \frac{\pi}{4}$. Не подходит, так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 \neq 0$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$.

2) не принадлежат области определения функции y = ctg x?

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена).

Функция $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ не определена, когда ее знаменатель равен нулю (так как на ноль делить нельзя).

Найдем значения $x$, при которых $\sin x = 0$.

Это уравнение имеет решения вида $x = \pi n$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Теперь проверим, какие из предложенных чисел имеют такой вид:

• $x = \frac{\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = 0$. Подходит, так как при $n=0$ получаем $x = \pi \cdot 0 = 0$.
• $x = -\frac{\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = \frac{3\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = -\pi$. Подходит, так как при $n=-1$ получаем $x = \pi \cdot (-1) = -\pi$.
• $x = 2\pi$. Подходит, так как при $n=2$ получаем $x = \pi \cdot 2 = 2\pi$.
• $x = -\frac{5\pi}{2}$. Не подходит.
• $x = \frac{\pi}{4}$. Не подходит.

Ответ: $0, -\pi, 2\pi$.