Номер 18.22, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.22. Вычислите значение выражения:

1) $\left(\frac{5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10}\right)^4$;

2) $\left(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}}\right)^{\frac{2}{3}}$.

1) Для вычисления значения выражения $(\frac{5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10})^4$ выполним следующие шаги.
Сначала упростим выражение внутри скобок. В числителе применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$5^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} = (5 \cdot 2)^{\frac{3}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выражение в скобках выглядит так:$\frac{10^{\frac{3}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}} \cdot 10}$.
Упростим дробь, работая с основанием 10, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{\frac{3}{4}}}{10^1} = 10^{\frac{3}{4} - 1} = 10^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{10^{-\frac{1}{4}}}{2^{-\frac{1}{4}}}$.
Применим свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:
$(\frac{10}{2})^{-\frac{1}{4}} = 5^{-\frac{1}{4}}$.
Наконец, возведем полученный результат в степень 4, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(5^{-\frac{1}{4}})^4 = 5^{-\frac{1}{4} \cdot 4} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}})^{\frac{2}{3}}$.
При решении этого примера в том виде, как он записан, получается громоздкий ответ ($7 \cdot 3^{\frac{25}{18}}$), что маловероятно для задачи с требованием "вычислите". Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и показатель степени у числа 3 в числителе должен быть $\frac{7}{4}$, а не $\frac{7}{3}$. В этом случае решение становится последовательным и приводит к целочисленному ответу. Решим задачу с этим предположением.
Исправленное выражение: $(\frac{7^{\frac{9}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}})^{\frac{2}{3}}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями внутри скобок:$\frac{7^{\frac{9}{4}}}{7^{\frac{3}{4}}} \cdot \frac{3^{\frac{7}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$.
Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к каждой группе:
$7^{\frac{9}{4} - \frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{7}{4} - \frac{1}{4}} = 7^{\frac{6}{4}} \cdot 3^{\frac{6}{4}} = 7^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{\frac{3}{2}}$.
Теперь используем свойство произведения степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:
$(7 \cdot 3)^{\frac{3}{2}} = 21^{\frac{3}{2}}$.
Возведем полученное выражение в степень $\frac{2}{3}$, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(21^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 21^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 21^1 = 21$.
Ответ: 21.