Номер 18.19, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

18.19. Постройте график функции $y = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Для построения графика функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ воспользуемся методом последовательных геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Сначала преобразуем данное уравнение к стандартному виду $y = A\sin(B(x-C)) + D$, чтобы явно видеть все параметры преобразования:

$y = 2\sin(2(x + \frac{\pi}{6})) - 1$

Отсюда мы можем определить параметры преобразований:

• $A=2$ – амплитуда (растяжение по оси Oy).
• $B=2$ – коэффициент, влияющий на период (сжатие по оси Ox).
• $C = -\frac{\pi}{6}$ – фазовый сдвиг (сдвиг по оси Ox влево).
• $D = -1$ – вертикальный сдвиг (сдвиг по оси Oy вниз).

Выполним построение графика по шагам.

Начнем с графика стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $T=2\pi$ и амплитудой, равной 1. Ее значения лежат в диапазоне от -1 до 1. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

Коэффициент $B=2$ перед $x$ означает, что график сжимается по горизонтали в 2 раза. Новый период функции будет $T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Все абсциссы ключевых точек графика $y=\sin(x)$ делятся на 2.

Множитель $A=2$ перед синусом означает, что график растягивается по вертикали в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений функции становится $[-2, 2]$. Все ординаты ключевых точек графика $y=\sin(2x)$ умножаются на 2.

Прибавление $\frac{\pi}{6}$ к аргументу $x$ сдвигает график влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц. Чтобы найти новые координаты, из абсцисс ключевых точек графика $y=2\sin(2x)$ нужно вычесть $\frac{\pi}{6}$. Начало основного периода синусоиды смещается из точки $x=0$ в точку $x=-\frac{\pi}{6}$.

Вычитание 1 из функции сдвигает весь график на 1 единицу вниз. Средняя линия графика смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений итоговой функции становится $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$.

Сводка ключевых точек для построения итогового графика:

Найдем координаты ключевых точек для одного периода итоговой функции, пройдя все этапы преобразования. Исходные точки для $y=\sin(x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{2},1), (\pi,0), (\frac{3\pi}{2},-1), (2\pi,0)$.

1. $y=\sin(2x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{4},1), (\frac{\pi}{2},0), (\frac{3\pi}{4},-1), (\pi,0)$.
2. $y=2\sin(2x)$: $(0,0), (\frac{\pi}{4},2), (\frac{\pi}{2},0), (\frac{3\pi}{4},-2), (\pi,0)$.
3. $y=2\sin(2(x+\frac{\pi}{6}))$: $(-\frac{\pi}{6},0), (\frac{\pi}{12},2), (\frac{\pi}{3},0), (\frac{7\pi}{12},-2), (\frac{5\pi}{6},0)$.
4. $y=2\sin(2(x+\frac{\pi}{6}))-1$: $(-\frac{\pi}{6},-1), (\frac{\pi}{12},1), (\frac{\pi}{3},-1), (\frac{7\pi}{12},-3), (\frac{5\pi}{6},-1)$.

Также найдем точку пересечения графика с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2\sin(\frac{\pi}{3}) - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1 \approx 0.732$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{3}-1)$.

Ответ:График функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ является синусоидой со следующими характеристиками:

• Период: $T=\pi$.
• Амплитуда: $A=2$.
• Область значений: $E(y) = [-3, 1]$.
• Фазовый сдвиг: на $\frac{\pi}{6}$ влево относительно графика $y=2\sin(2x)$.
• Вертикальный сдвиг: на 1 вниз, средняя линия графика — прямая $y=-1$.

Для построения графика необходимо нанести на координатную плоскость ключевые точки одного периода, например, на отрезке $[-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$, и соединить их плавной кривой. Затем, используя периодичность, продолжить график в обе стороны.
Ключевые точки одного периода:

• Точки максимума: $(\frac{\pi}{12} + k\pi, 1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ближайшая к началу координат — $(\frac{\pi}{12}, 1)$.
• Точки минимума: $(\frac{7\pi}{12} + k\pi, -3)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Ближайшая к началу координат — $(\frac{7\pi}{12}, -3)$.
• Точки пересечения со средней линией $y=-1$: $(-\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, $(-\frac{\pi}{6}, -1)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{5\pi}{6}, -1)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $(0, \sqrt{3}-1)$.