Страница 155 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.24. Найдите значение выражения:

1) $(\left(\frac{a^{\frac{8}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}}\right)^{-\frac{3}{2}}$ при $a = 0,008;$

2) $(\left(\frac{a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{3}{4}}$ при $a = 0,0625.$

1) Вычислим значение выражения $ \left( \frac{a^{\frac{8}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}} \right)^{-\frac{3}{2}} $ при $ a = 0,008 $.

(Примечание: В исходном изображении, вероятно, допущена опечатка. Решение приведено для наиболее вероятного корректного вида выражения, которое дает целый ответ.)

Сначала упростим выражение в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, а при делении – вычитаются.

Упростим числитель дроби:
$ a^{\frac{8}{3}} \cdot a^{-\frac{2}{3}} = a^{\frac{8}{3} + (-\frac{2}{3})} = a^{\frac{8-2}{3}} = a^{\frac{6}{3}} = a^2 $.

Теперь разделим результат на знаменатель:
$ \frac{a^2}{a^{\frac{4}{3}}} = a^{2 - \frac{4}{3}} = a^{\frac{6}{3} - \frac{4}{3}} = a^{\frac{2}{3}} $.

Теперь возведем полученное выражение в степень $ -\frac{3}{2} $:
$ \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}} = a^{\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = a^{-1} = \frac{1}{a} $.

После упрощения исходное выражение равно $ \frac{1}{a} $. Подставим заданное значение $ a = 0,008 $:
$ \frac{1}{0,008} = \frac{1}{\frac{8}{1000}} = \frac{1000}{8} = 125 $.

Ответ: 125.

2) Найдем значение выражения $ \left( \frac{a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{3}}} \right)^{\frac{3}{4}} $ при $ a = 0,0625 $.

Сначала упростим выражение в скобках.
Упростим числитель:
$ a^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{-\frac{3}{6} + \frac{2}{6}} = a^{-\frac{1}{6}} $.

Упростим знаменатель:
$ a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{6}} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{a^{-\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{-\frac{1}{6} - \frac{1}{6}} = a^{-\frac{2}{6}} = a^{-\frac{1}{3}} $.

Возведем полученное выражение в степень $ \frac{3}{4} $:
$ \left(a^{-\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} = a^{-\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}} = a^{-\frac{1}{4}} $.

Теперь нужно подставить значение $ a = 0,0625 $. Представим это число в виде степени для удобства вычислений:
$ a = 0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 $.

Подставим это значение в упрощенное выражение $ a^{-\frac{1}{4}} $:
$ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^{-\frac{1}{4}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 $.

Ответ: 2.