Страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.29. При каких значениях x значения выражений $4x + 5$, $7x - 1$ и $x^2 + 2$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Пусть данные выражения $a_1 = 4x + 5$, $a_2 = 7x - 1$ и $a_3 = x^2 + 2$ являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, любой член, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$.

Подставим в это равенство данные выражения:

$7x - 1 = \frac{(4x + 5) + (x^2 + 2)}{2}$

При каких значениях x значения выражений будут последовательными членами арифметической прогрессии?

Для нахождения значений $x$ решим полученное уравнение. Умножим обе части уравнения на 2:

$2(7x - 1) = x^2 + 4x + 5 + 2$
$14x - 2 = x^2 + 4x + 7$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 4x - 14x + 7 + 2 = 0$
$x^2 - 10x + 9 = 0$

Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1, \quad x_2 = 9$

Ответ: при $x=1$ и $x=9$.

Найдите три этих члена прогрессии.

Теперь вычислим значения членов прогрессии для каждого найденного значения $x$.

1. При $x = 1$:
$a_1 = 4(1) + 5 = 9$
$a_2 = 7(1) - 1 = 6$
$a_3 = 1^2 + 2 = 3$
Получается последовательность: 9, 6, 3.

2. При $x = 9$:
$a_1 = 4(9) + 5 = 36 + 5 = 41$
$a_2 = 7(9) - 1 = 63 - 1 = 62$
$a_3 = 9^2 + 2 = 81 + 2 = 83$
Получается последовательность: 41, 62, 83.

Ответ: при $x=1$ члены прогрессии: 9, 6, 3; при $x=9$ члены прогрессии: 41, 62, 83.

21.30. При каких значениях $x$ значения выражений $x-1$, $1-2x$ и $x+7$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите три этих члена прогрессии.

Для того чтобы три выражения $x-1$, $1-2x$ и $x+7$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее основное свойство: квадрат среднего члена должен быть равен произведению двух крайних. Обозначим члены прогрессии как $b_1 = x - 1$, $b_2 = 1 - 2x$ и $b_3 = x + 7$. Свойство выражается формулой: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим данные выражения в эту формулу и решим полученное уравнение:

$(1 - 2x)^2 = (x - 1)(x + 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2 = x^2 + 7x - x - 7$

$1 - 4x + 4x^2 = x^2 + 6x - 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$(4x^2 - x^2) + (-4x - 6x) + (1 + 7) = 0$

$3x^2 - 10x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 2}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Мы получили два значения $x$, при которых выражения образуют геометрическую прогрессию. Теперь найдем сами члены прогрессии для каждого из найденных значений $x$.

1. При $x = 2$
Найдем значения членов прогрессии, подставив $x=2$ в исходные выражения:
Первый член: $b_1 = x - 1 = 2 - 1 = 1$
Второй член: $b_2 = 1 - 2x = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$
Третий член: $b_3 = x + 7 = 2 + 7 = 9$
Получилась последовательность 1, -3, 9. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -3$.
Ответ: при $x = 2$ искомые члены равны 1, -3, 9.

2. При $x = \frac{4}{3}$
Найдем значения членов прогрессии, подставив $x=\frac{4}{3}$ в исходные выражения:
Первый член: $b_1 = x - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$
Второй член: $b_2 = 1 - 2x = 1 - 2\left(\frac{4}{3}\right) = 1 - \frac{8}{3} = \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$
Третий член: $b_3 = x + 7 = \frac{4}{3} + 7 = \frac{4}{3} + \frac{21}{3} = \frac{25}{3}$
Получилась последовательность $\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = -5$.
Ответ: при $x = \frac{4}{3}$ искомые члены равны $\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}, \frac{25}{3}$.