Страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.8. Найдите значение выражения:

1) $4\cos 225^\circ - 6\cos 120^\circ + 3\operatorname{ctg} 300^\circ + \operatorname{tg} 240^\circ$;

2) $\frac{6\cos^2(-240^\circ)\operatorname{ctg}210^\circ}{\sin(-300^\circ)\cos^2 180^\circ}$;

3) $\sin \frac{7\pi}{4} - \cos \frac{2\pi}{3} - \operatorname{tg} \frac{4\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{7\pi}{6}$;

4) $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \cos 49^\circ \cos 19^\circ}$.

1) Найдем значение выражения $4\cos 225^\circ - 6\cos 120^\circ + 3\text{ctg} 300^\circ + \text{tg} 240^\circ$.
Для этого вычислим значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения для углов:
$\cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$;
$\text{ctg} 300^\circ = \text{ctg}(360^\circ - 60^\circ) = -\text{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;
$\text{tg} 240^\circ = \text{tg}(180^\circ + 60^\circ) = \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \sqrt{3} = -2\sqrt{2} + 3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{2}$.
Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$.

2) Найдем значение выражения $\frac{6\cos^2(-240^\circ)\text{ctg} 210^\circ}{\sin(-300^\circ)\cos^2 180^\circ}$.
Вычислим значения тригонометрических функций, используя свойства четности/нечетности ($\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$) и формулы приведения:
$\cos^2(-240^\circ) = (\cos(-240^\circ))^2 = (\cos 240^\circ)^2 = (\cos(180^\circ+60^\circ))^2 = (-\cos 60^\circ)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$;
$\text{ctg} 210^\circ = \text{ctg}(180^\circ+30^\circ) = \text{ctg} 30^\circ = \sqrt{3}$;
$\sin(-300^\circ) = -\sin(300^\circ) = -\sin(360^\circ-60^\circ) = -(-\sin 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\cos^2 180^\circ = (\cos 180^\circ)^2 = (-1)^2 = 1$.
Подставим найденные значения в дробь:
$\frac{6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{6\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$.
Ответ: $3$.

3) Найдем значение выражения $\sin\frac{7\pi}{4} - \cos\frac{2\pi}{3} - \text{tg}\frac{4\pi}{3} - \text{ctg}\frac{7\pi}{6}$.
Вычислим значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения для радиан:
$\sin\frac{7\pi}{4} = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$\cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$;
$\text{tg}\frac{4\pi}{3} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$;
$\text{ctg}\frac{7\pi}{6} = \text{ctg}(\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) - \sqrt{3} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2} - 2\sqrt{3}$.

4) Найдем значение выражения $\frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \cos 86^\circ \cos 26^\circ}{\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \cos 49^\circ \cos 19^\circ}$.
Для упрощения выражения воспользуемся формулой приведения $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ и формулой косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Преобразуем числитель. Заметим, что $\cos 86^\circ = \cos(90^\circ - 4^\circ) = \sin 4^\circ$ и $\cos 26^\circ = \cos(90^\circ - 64^\circ) = \sin 64^\circ$.
Тогда числитель примет вид:
$\cos 64^\circ \cos 4^\circ - \sin 64^\circ \sin 4^\circ = \cos(64^\circ + 4^\circ) = \cos 68^\circ$.
Преобразуем знаменатель. Заметим, что $\cos 49^\circ = \cos(90^\circ - 41^\circ) = \sin 41^\circ$ и $\cos 19^\circ = \cos(90^\circ - 71^\circ) = \sin 71^\circ$.
Тогда знаменатель примет вид:
$\cos 71^\circ \cos 41^\circ - \sin 71^\circ \sin 41^\circ = \cos(71^\circ + 41^\circ) = \cos 112^\circ$.
Теперь все выражение выглядит так: $\frac{\cos 68^\circ}{\cos 112^\circ}$.
Используем еще одну формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ для знаменателя:
$\cos 112^\circ = \cos(180^\circ - 68^\circ) = -\cos 68^\circ$.
Подставляем это в дробь:
$\frac{\cos 68^\circ}{-\cos 68^\circ} = -1$.
Ответ: $-1$.

22.9. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)};$

2) $\sin(\pi - \beta)\cos\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)\cos(\pi - \beta);$

3) $\sin(90^\circ + \alpha)\sin(180^\circ - \alpha)(\text{tg}(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ - \alpha));$

4) $\sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos(x - 2\pi);$

5) $\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi - x)\right)^2;$

6) $\frac{\text{tg}(\pi - x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cos(\pi + x)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции от произвольных углов к функциям от острого угла.
Исходное выражение: $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)} $
Упростим каждый множитель отдельно:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен).
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
• $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим эти выражения в исходную дробь:
$ \frac{(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))}{(-\text{tg}(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\cos(\alpha)} $
Так как $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, заменим тангенс в знаменателе:
$ \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $
Сокращаем $ \sin(\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $):
$ -\cos(\alpha) $
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

2) Упростим выражение $ \sin(\pi - \beta)\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)\cos(\pi - \beta) $.
Применим формулы приведения для каждого члена:

• $ \sin(\pi - \beta) = \sin(\beta) $ (II четверть, синус положителен).
• $ \cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \beta)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta) $ (используем четность косинуса и формулу приведения).
• $ \sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos(\beta) $ (II четверть, синус положителнен, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) $ (II четверть, косинус отрицателен).

Подставляем упрощенные выражения:
$ (\sin(\beta))(\sin(\beta)) - (\cos(\beta))(-\cos(\beta)) = \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $, получаем:
$ 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Упростим выражение $ \sin(90^\circ + \alpha)\sin(180^\circ - \alpha)(\text{tg}(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ - \alpha)) $.
Применим формулы приведения (в градусной мере):

• $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) $ (II четверть, синус положителен, функция меняется).
• $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $ (II четверть, синус положителен).
• $ \text{tg}(180^\circ + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (III четверть, тангенс положителен).
• $ \text{tg}(270^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $ (III четверть, тангенс положителен, функция меняется).

Подставим полученные выражения:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)(\text{tg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha)) $
Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)\left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) $
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)\left(\frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)\sin(\alpha)}\right) $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha) \cdot \frac{1}{\cos(\alpha)\sin(\alpha)} = 1 $
Ответ: $ 1 $

4) Упростим выражение $ \sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) + \sin(\frac{\pi}{2} + x)\cos(x - 2\pi) $.
Упростим каждое слагаемое по отдельности:

• $ \sin^2(\pi - x) = (\sin(\pi - x))^2 = (\sin(x))^2 = \sin^2(x) $.
• $ \text{tg}^2(\pi - x) = (\text{tg}(\pi - x))^2 = (-\text{tg}(x))^2 = \text{tg}^2(x) $.
• $ \text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) = (\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x))^2 = (-\text{ctg}(x))^2 = \text{ctg}^2(x) $.
• $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $.
• $ \cos(x - 2\pi) = \cos(x) $ (периодичность косинуса).

Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$ \sin^2(x) + \text{tg}^2(x)\text{ctg}^2(x) + \cos(x)\cos(x) $
$ \sin^2(x) + (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 + \cos^2(x) $
Так как $ \text{tg}(x)\text{ctg}(x) = 1 $ (при $ x \neq \frac{k\pi}{2} $), то $ (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 = 1^2 = 1 $.
Выражение принимает вид:
$ \sin^2(x) + 1 + \cos^2(x) $
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество:
$ (\sin^2(x) + \cos^2(x)) + 1 = 1 + 1 = 2 $
Ответ: $ 2 $

5) Упростим выражение $ \left(\sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos(\frac{3\pi}{2} - x) + \cos(2\pi - x)\right)^2 $.
Сначала упростим выражения в скобках с помощью формул приведения:

• $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) $
• $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $ (III четверть, косинус отрицателен, функция меняется).
• $ \cos(2\pi - x) = \cos(x) $

Подставим их в исходное выражение:
$ (\cos(x) + \sin(x))^2 + (-\sin(x) + \cos(x))^2 $
Раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$ (\cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\cos^2(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) + \sin^2(x)) + 2\cos(x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) $
Применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:
$ 1 + 1 + 0 = 2 $
Ответ: $ 2 $

6) Упростим выражение $ \frac{\text{tg}(\pi - x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cos(\pi + x)\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x)} $.
Применим формулы приведения для каждого множителя:

• $ \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $ (II четверть, тангенс отрицателен).
• $ \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x) $ (IV четверть, синус отрицателен, функция меняется).
• $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $ (III четверть, косинус отрицателен).
• $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{tg}(x) $ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

Подставим в дробь:
$ \frac{(-\text{tg}(x))(-\cos(x))}{(-\cos(x))(-\text{tg}(x))} $
Упростим числитель и знаменатель:
$ \frac{\text{tg}(x)\cos(x)}{\cos(x)\text{tg}(x)} $
При условии, что знаменатель не равен нулю ($ x \neq \frac{k\pi}{2} $), числитель и знаменатель равны, поэтому их частное равно 1.
$ 1 $
Ответ: $ 1 $

22.10. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha;$

2) $\sin(\pi + x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(2\pi + x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1;$

3) $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1;$

4) $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi.$

1) Для доказательства тождества $\frac{\sin(\pi - \alpha)\sin(\alpha + 2\pi)}{\text{tg}(\pi + \alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} = -\cos\alpha$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения и свойства периодичности тригонометрических функций.

Применим формулы приведения для каждого множителя:

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ (угол во второй четверти, синус положителен).
• $\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha$ (периодичность синуса, период $2\pi$).
• $\text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}\alpha$ (угол в третьей четверти, тангенс положителен).
• $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть тождества:

$\frac{\sin\alpha \cdot \sin\alpha}{\text{tg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)} = \frac{\sin^2\alpha}{-\text{tg}\alpha \cdot \sin\alpha}$

Сократим на $\sin\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{-\text{tg}\alpha}$

Зная, что $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, подставим это в выражение:

$\frac{\sin\alpha}{-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \sin\alpha \cdot (-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) = -\cos\alpha$

Левая часть равна правой: $-\cos\alpha = -\cos\alpha$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sin(\pi + x)\cos(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(2\pi + x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -1$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.

Применим формулы приведения для каждого слагаемого:

• $\sin(\pi + x) = -\sin x$ (угол в третьей четверти, синус отрицателен).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ (угол в первой четверти, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(2\pi + x) = \cos x$ (периодичность косинуса).
• $\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x$ (угол в четвертой четверти, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(-\sin x) \cdot (\sin x) + (\cos x) \cdot (-\cos x) = -\sin^2x - \cos^2x$

Вынесем минус за скобки:

$-(\sin^2x + \cos^2x)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем:

$-1$

Левая часть равна правой: $-1 = -1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{\text{tg}(180^\circ - \alpha)\cos(180^\circ - \alpha)\text{tg}(90^\circ - \alpha)}{\sin(90^\circ + \alpha)\text{ctg}(90^\circ + \alpha)\text{tg}(90^\circ + \alpha)} = 1$ преобразуем левую часть, используя формулы приведения.

Преобразуем числитель:

• $\text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен).
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол во второй четверти, косинус отрицателен).
• $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол в первой четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).

Числитель: $(-\text{tg}\alpha) \cdot (-\cos\alpha) \cdot (\text{ctg}\alpha) = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cos\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

• $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos\alpha$ (угол во второй четверти, синус положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\text{ctg}(90^\circ + \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол во второй четверти, котангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).
• $\text{tg}(90^\circ + \alpha) = -\text{ctg}\alpha$ (угол во второй четверти, тангенс отрицателен, функция меняется на кофункцию).

Знаменатель: $(\cos\alpha) \cdot (-\text{tg}\alpha) \cdot (-\text{ctg}\alpha) = \cos\alpha \cdot (\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha)$. Так как $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$, то знаменатель равен $\cos\alpha$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$

Левая часть равна правой: $1 = 1$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\sin(2\pi - \varphi)\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) - \cos(\varphi - \pi) - \sin(\varphi - \pi) = \sin\varphi$ преобразуем левую часть.

Применим формулы приведения и свойства четности/нечетности:

• $\sin(2\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (угол в четвертой четверти, синус отрицателен).
• $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = \text{ctg}\varphi$ (угол в третьей четверти, тангенс положителен, функция меняется на кофункцию).
• $\cos(\varphi - \pi) = \cos(-(\pi - \varphi)) = \cos(\pi - \varphi) = -\cos\varphi$ (использовали четность косинуса и формулу приведения для второй четверти).
• $\sin(\varphi - \pi) = \sin(-(\pi - \varphi)) = -\sin(\pi - \varphi) = -\sin\varphi$ (использовали нечетность синуса и формулу приведения для второй четверти).

Подставим преобразованные выражения в левую часть:

$(-\sin\varphi) \cdot (\text{ctg}\varphi) - (-\cos\varphi) - (-\sin\varphi) = -\sin\varphi \cdot \text{ctg}\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi$

Заменим $\text{ctg}\varphi = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$:

$-\sin\varphi \cdot \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} + \cos\varphi + \sin\varphi$

Сократим $\sin\varphi$:

$-\cos\varphi + \cos\varphi + \sin\varphi = \sin\varphi$

Левая часть равна правой: $\sin\varphi = \sin\varphi$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

22.11. Вычислите:

1) $\cot 5^\circ \cot 15^\circ \cot 25^\circ \dots \cdot \cot 75^\circ \cot 85^\circ;$

2) $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 60^\circ + \dots + \tan 160^\circ + \tan 180^\circ;$

3) $\sin 0^\circ + \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin 359^\circ + \sin 360^\circ.$

1) Вычислим произведение $ \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}25^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg}75^\circ \cdot \text{ctg}85^\circ $.

Заметим, что углы в аргументах котангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 5^\circ$ и разностью $d = 10^\circ$. Найдем количество членов в произведении. Последний член $a_n = 85^\circ$.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:

$85 = 5 + (n-1)10$

$80 = (n-1)10$

$n-1 = 8$

$n = 9$

Таким образом, в произведении 9 сомножителей: $ \text{ctg}5^\circ, \text{ctg}15^\circ, \text{ctg}25^\circ, \text{ctg}35^\circ, \text{ctg}45^\circ, \text{ctg}55^\circ, \text{ctg}65^\circ, \text{ctg}75^\circ, \text{ctg}85^\circ $.

Сгруппируем сомножители, используя формулу приведения $ \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha $ и основное тригонометрическое тождество $ \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1 $.

Рассмотрим пары сомножителей, равноотстоящих от концов произведения:

$ \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}85^\circ = \text{ctg}5^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 5^\circ) = \text{ctg}5^\circ \cdot \text{tg}5^\circ = 1 $

$ \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}75^\circ = \text{ctg}15^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 15^\circ) = \text{ctg}15^\circ \cdot \text{tg}15^\circ = 1 $

$ \text{ctg}25^\circ \cdot \text{ctg}65^\circ = \text{ctg}25^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 25^\circ) = \text{ctg}25^\circ \cdot \text{tg}25^\circ = 1 $

$ \text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}55^\circ = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 35^\circ) = \text{ctg}35^\circ \cdot \text{tg}35^\circ = 1 $

Центральный член последовательности (пятый из девяти), который остался без пары, это $ \text{ctg}45^\circ $. Его значение равно 1.

Таким образом, всё произведение равно произведению полученных значений: $ 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $.

Ответ: 1

2) Вычислим сумму $ \text{tg}20^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}60^\circ + \dots + \text{tg}160^\circ + \text{tg}180^\circ $.

Аргументы тангенсов образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 20^\circ$ и разностью $d = 20^\circ$. Количество членов в сумме: $n = \frac{180-20}{20} + 1 = \frac{160}{20} + 1 = 8 + 1 = 9$.

Выпишем все слагаемые: $ \text{tg}20^\circ, \text{tg}40^\circ, \text{tg}60^\circ, \text{tg}80^\circ, \text{tg}100^\circ, \text{tg}120^\circ, \text{tg}140^\circ, \text{tg}160^\circ, \text{tg}180^\circ $.

Сгруппируем слагаемые, используя формулу приведения $ \text{tg}(180^\circ - \alpha) = -\text{tg}\alpha $.

Рассмотрим пары слагаемых, чьи углы в сумме дают $180^\circ$:

$ \text{tg}20^\circ + \text{tg}160^\circ = \text{tg}20^\circ + \text{tg}(180^\circ - 20^\circ) = \text{tg}20^\circ - \text{tg}20^\circ = 0 $

$ \text{tg}40^\circ + \text{tg}140^\circ = \text{tg}40^\circ + \text{tg}(180^\circ - 40^\circ) = \text{tg}40^\circ - \text{tg}40^\circ = 0 $

$ \text{tg}60^\circ + \text{tg}120^\circ = \text{tg}60^\circ + \text{tg}(180^\circ - 60^\circ) = \text{tg}60^\circ - \text{tg}60^\circ = 0 $

$ \text{tg}80^\circ + \text{tg}100^\circ = \text{tg}80^\circ + \text{tg}(180^\circ - 80^\circ) = \text{tg}80^\circ - \text{tg}80^\circ = 0 $

Последнее слагаемое в сумме — это $ \text{tg}180^\circ $. Его значение равно 0.

Таким образом, вся сумма равна сумме полученных значений: $ 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0

3) Вычислим сумму $ \sin0^\circ + \sin1^\circ + \sin2^\circ + \dots + \sin359^\circ + \sin360^\circ $.

Сумма содержит 361 слагаемое, где аргументы синусов — целые числа от 0 до 360.

Используем формулу приведения $ \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin\alpha $ и сгруппируем слагаемые.

Значения некоторых членов суммы равны нулю: $ \sin0^\circ = 0 $, $ \sin180^\circ = 0 $ и $ \sin360^\circ = 0 $.

Остальные слагаемые можно разбить на пары вида $ \sin\alpha + \sin(360^\circ - \alpha) $:

$ \sin1^\circ + \sin359^\circ = \sin1^\circ + \sin(360^\circ - 1^\circ) = \sin1^\circ - \sin1^\circ = 0 $

$ \sin2^\circ + \sin358^\circ = \sin2^\circ + \sin(360^\circ - 2^\circ) = \sin2^\circ - \sin2^\circ = 0 $

... и так далее до ...

$ \sin179^\circ + \sin181^\circ = \sin179^\circ + \sin(360^\circ - 179^\circ) = \sin179^\circ - \sin179^\circ = 0 $

Всего таких пар $179$ (для $ \alpha $ от $1^\circ$ до $179^\circ$). Сумма в каждой паре равна 0.

Следовательно, общая сумма представляет собой сумму нулей: $ \sin0^\circ + (\sin1^\circ + \sin359^\circ) + \dots + (\sin179^\circ + \sin181^\circ) + \sin180^\circ + \sin360^\circ = 0 + 0 + \dots + 0 + 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0