Номер 22.9, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.9. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)};$

2) $\sin(\pi - \beta)\cos\left(\beta - \frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2} + \beta\right)\cos(\pi - \beta);$

3) $\sin(90^\circ + \alpha)\sin(180^\circ - \alpha)(\text{tg}(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ - \alpha));$

4) $\sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos(x - 2\pi);$

5) $\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \cos(2\pi - x)\right)^2;$

6) $\frac{\text{tg}(\pi - x)\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cos(\pi + x)\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}.$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения, которые позволяют свести тригонометрические функции от произвольных углов к функциям от острого угла.
Исходное выражение: $ \frac{\sin(\pi + \alpha)\cos(2\pi - \alpha)}{\text{tg}(\pi - \alpha)\cos(\pi - \alpha)} $
Упростим каждый множитель отдельно:

• $ \sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $ (угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где синус отрицателен).
• $ \cos(2\pi - \alpha) = \cos(\alpha) $ (угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен).
• $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).
• $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $ (угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим эти выражения в исходную дробь:
$ \frac{(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha))}{(-\text{tg}(\alpha))(-\cos(\alpha))} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{tg}(\alpha)\cos(\alpha)} $
Так как $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $, заменим тангенс в знаменателе:
$ \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\cdot\cos(\alpha)} = \frac{-\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $
Сокращаем $ \sin(\alpha) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin(\alpha) \neq 0 $):
$ -\cos(\alpha) $
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

2) Упростим выражение $ \sin(\pi - \beta)\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2} + \beta)\cos(\pi - \beta) $.
Применим формулы приведения для каждого члена:

• $ \sin(\pi - \beta) = \sin(\beta) $ (II четверть, синус положителен).
• $ \cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \beta)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \beta) = \sin(\beta) $ (используем четность косинуса и формулу приведения).
• $ \sin(\frac{\pi}{2} + \beta) = \cos(\beta) $ (II четверть, синус положителнен, функция меняется на кофункцию).
• $ \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) $ (II четверть, косинус отрицателен).

Подставляем упрощенные выражения:
$ (\sin(\beta))(\sin(\beta)) - (\cos(\beta))(-\cos(\beta)) = \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $, получаем:
$ 1 $
Ответ: $ 1 $

3) Упростим выражение $ \sin(90^\circ + \alpha)\sin(180^\circ - \alpha)(\text{tg}(180^\circ + \alpha) + \text{tg}(270^\circ - \alpha)) $.
Применим формулы приведения (в градусной мере):

• $ \sin(90^\circ + \alpha) = \cos(\alpha) $ (II четверть, синус положителен, функция меняется).
• $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $ (II четверть, синус положителен).
• $ \text{tg}(180^\circ + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $ (III четверть, тангенс положителен).
• $ \text{tg}(270^\circ - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $ (III четверть, тангенс положителен, функция меняется).

Подставим полученные выражения:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)(\text{tg}(\alpha) + \text{ctg}(\alpha)) $
Распишем тангенс и котангенс через синус и косинус:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)\left(\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} + \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right) $
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha)\left(\frac{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)}{\cos(\alpha)\sin(\alpha)}\right) $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:
$ \cos(\alpha)\sin(\alpha) \cdot \frac{1}{\cos(\alpha)\sin(\alpha)} = 1 $
Ответ: $ 1 $

4) Упростим выражение $ \sin^2(\pi - x) + \text{tg}^2(\pi - x)\text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) + \sin(\frac{\pi}{2} + x)\cos(x - 2\pi) $.
Упростим каждое слагаемое по отдельности:

• $ \sin^2(\pi - x) = (\sin(\pi - x))^2 = (\sin(x))^2 = \sin^2(x) $.
• $ \text{tg}^2(\pi - x) = (\text{tg}(\pi - x))^2 = (-\text{tg}(x))^2 = \text{tg}^2(x) $.
• $ \text{tg}^2(\frac{3\pi}{2} + x) = (\text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x))^2 = (-\text{ctg}(x))^2 = \text{ctg}^2(x) $.
• $ \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x) $.
• $ \cos(x - 2\pi) = \cos(x) $ (периодичность косинуса).

Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$ \sin^2(x) + \text{tg}^2(x)\text{ctg}^2(x) + \cos(x)\cos(x) $
$ \sin^2(x) + (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 + \cos^2(x) $
Так как $ \text{tg}(x)\text{ctg}(x) = 1 $ (при $ x \neq \frac{k\pi}{2} $), то $ (\text{tg}(x)\text{ctg}(x))^2 = 1^2 = 1 $.
Выражение принимает вид:
$ \sin^2(x) + 1 + \cos^2(x) $
Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество:
$ (\sin^2(x) + \cos^2(x)) + 1 = 1 + 1 = 2 $
Ответ: $ 2 $

5) Упростим выражение $ \left(\sin(\frac{\pi}{2} - x) + \sin(\pi - x)\right)^2 + \left(\cos(\frac{3\pi}{2} - x) + \cos(2\pi - x)\right)^2 $.
Сначала упростим выражения в скобках с помощью формул приведения:

• $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) $
• $ \sin(\pi - x) = \sin(x) $
• $ \cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin(x) $ (III четверть, косинус отрицателен, функция меняется).
• $ \cos(2\pi - x) = \cos(x) $

Подставим их в исходное выражение:
$ (\cos(x) + \sin(x))^2 + (-\sin(x) + \cos(x))^2 $
Раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$ (\cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)) $
Сгруппируем слагаемые:
$ (\cos^2(x) + \sin^2(x)) + (\cos^2(x) + \sin^2(x)) + 2\cos(x)\sin(x) - 2\cos(x)\sin(x) $
Применяем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:
$ 1 + 1 + 0 = 2 $
Ответ: $ 2 $

6) Упростим выражение $ \frac{\text{tg}(\pi - x)\sin(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cos(\pi + x)\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x)} $.
Применим формулы приведения для каждого множителя:

• $ \text{tg}(\pi - x) = -\text{tg}(x) $ (II четверть, тангенс отрицателен).
• $ \sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x) $ (IV четверть, синус отрицателен, функция меняется).
• $ \cos(\pi + x) = -\cos(x) $ (III четверть, косинус отрицателен).
• $ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} + x) = -\text{tg}(x) $ (IV четверть, котангенс отрицателен, функция меняется).

Подставим в дробь:
$ \frac{(-\text{tg}(x))(-\cos(x))}{(-\cos(x))(-\text{tg}(x))} $
Упростим числитель и знаменатель:
$ \frac{\text{tg}(x)\cos(x)}{\cos(x)\text{tg}(x)} $
При условии, что знаменатель не равен нулю ($ x \neq \frac{k\pi}{2} $), числитель и знаменатель равны, поэтому их частное равно 1.
$ 1 $
Ответ: $ 1 $