Номер 22.2, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.2. Упростите выражение:

1) $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$;

2) $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$;

3) $cos(\pi - \alpha)$;

4) $ctg(\alpha - 270^{\circ})$;

5) $sin(180^{\circ} + \alpha)$;

6) $sin^2(\frac{5\pi}{2} + \alpha)$.

1) Для упрощения выражения $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ используются формулы приведения. Так как в аргументе присутствует угол $\frac{3\pi}{2}$, который находится на вертикальной оси единичной окружности, тригонометрическая функция меняется на кофункцию, то есть косинус меняется на синус. Далее определяем знак. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ при малом положительном $\alpha$ находится в IV четверти, где косинус (изначальная функция) имеет знак «+». Следовательно, итоговое выражение будет со знаком «+». Таким образом, $cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = sin(\alpha)$.
Ответ: $sin(\alpha)$.

2) Для упрощения выражения $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ применяем формулы приведения. Угол $\frac{3\pi}{2}$ находится на вертикальной оси, поэтому функция меняется на кофункцию: котангенс на тангенс. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где котангенс (изначальная функция) имеет знак «+». Поэтому знак итогового выражения также будет «+». В результате получаем: $ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = tg(\alpha)$.
Ответ: $tg(\alpha)$.

3) В выражении $cos(\pi - \alpha)$ используется угол $\pi$, который находится на горизонтальной оси. Это означает, что название функции не меняется. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во II четверти, где косинус (изначальная функция) отрицателен. Значит, перед функцией нужно поставить знак «-». Получаем: $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
Ответ: $-cos(\alpha)$.

4) Для упрощения $ctg(\alpha - 270^{\circ})$ сначала воспользуемся свойством нечетности котангенса: $ctg(-x) = -ctg(x)$. Вынесем минус за скобки в аргументе: $ctg(\alpha - 270^{\circ}) = ctg(-(270^{\circ} - \alpha)) = -ctg(270^{\circ} - \alpha)$. Теперь применим формулу приведения к $ctg(270^{\circ} - \alpha)$. Угол $270^{\circ}$ (что равно $\frac{3\pi}{2}$) находится на вертикальной оси, поэтому котангенс меняется на тангенс. Угол $(270^{\circ} - \alpha)$ находится в III четверти, где котангенс положителен. Значит, $ctg(270^{\circ} - \alpha) = tg(\alpha)$. Подставляем обратно: $-ctg(270^{\circ} - \alpha) = -tg(\alpha)$.
Ответ: $-tg(\alpha)$.

5) Упростим $sin(180^{\circ} + \alpha)$ с помощью формул приведения. Угол $180^{\circ}$ (что равно $\pi$) находится на горизонтальной оси, поэтому функция синус не меняется. Угол $(180^{\circ} + \alpha)$ находится в III четверти, где синус (изначальная функция) отрицателен. Поэтому перед функцией ставится знак «-». Следовательно, $sin(180^{\circ} + \alpha) = -sin(\alpha)$.
Ответ: $-sin(\alpha)$.

6) Для упрощения выражения $sin^2(\frac{5\pi}{2} + \alpha)$ сначала преобразуем аргумент. Учитывая, что период синуса равен $2\pi$, мы можем вычесть этот период из аргумента: $\frac{5\pi}{2} = \frac{4\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2\pi +