Номер 22.3, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.3. Замените значение тригонометрической функции значением функции острого угла:

1) $ \cos 123^\circ $;

2) $ \sin 216^\circ $;

3) $ \cos (-218^\circ) $;

4) $ \cos \frac{5\pi}{9} $.

1) cos 123°

Угол $123^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 123^\circ < 180^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $123^\circ$ в виде разности: $123^\circ = 180^\circ - 57^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(123^\circ) = \cos(180^\circ - 57^\circ) = -\cos(57^\circ)$.

Угол $57^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 57^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\cos(57^\circ)$.

2) sin 216°

Угол $216^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 216^\circ < 270^\circ$), где значения синуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Представим угол $216^\circ$ в виде суммы: $216^\circ = 180^\circ + 36^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\sin(216^\circ) = \sin(180^\circ + 36^\circ) = -\sin(36^\circ)$.

Угол $36^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 36^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\sin(36^\circ)$.

3) cos (–218°)

Функция косинуса является четной, поэтому $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Следовательно, $\cos(-218^\circ) = \cos(218^\circ)$.

Угол $218^\circ$ находится в третьей координатной четверти ($180^\circ < 218^\circ < 270^\circ$), где значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $218^\circ$ в виде суммы: $218^\circ = 180^\circ + 38^\circ$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(218^\circ) = \cos(180^\circ + 38^\circ) = -\cos(38^\circ)$.

Угол $38^\circ$ является острым, так как $0^\circ < 38^\circ < 90^\circ$.

Ответ: $-\cos(38^\circ)$.

4) cos(5π/9)

Угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй координатной четверти, поскольку $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{9} < \pi$ (в градусах это $100^\circ$). В этой четверти значения косинуса отрицательны. Для приведения к острому углу используем формулу приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Представим угол $\frac{5\pi}{9}$ в виде разности: $\frac{5\pi}{9} = \pi - \frac{4\pi}{9}$.

Применяя формулу, получаем: $\cos(\frac{5\pi}{9}) = \cos(\pi - \frac{4\pi}{9}) = -\cos(\frac{4\pi}{9})$.

Угол $\frac{4\pi}{9}$ является острым, так как $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ (в градусах это $80^\circ$).

Ответ: $-\cos(\frac{4\pi}{9})$.