Номер 22.7, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.7. Вычислите:

1) $\frac{\sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ)}{\sin(-120^\circ) \cos 150^\circ}$;

2) $\sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{5\pi}{6} \operatorname{tg}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \operatorname{ctg}\frac{4\pi}{3}$;

3) $\frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ}$;

4) $\frac{\cos 66^\circ \cos 6^\circ + \cos 84^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ + \cos 85^\circ \cos 25^\circ}$.

1) $ \frac{\sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ)}{\sin(-120^\circ) \cos 150^\circ} $

Для решения этой задачи необходимо вычислить значение каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения и свойства четности/нечетности функций.

Вычислим значения для числителя:

$ \sin 315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin^2 315^\circ = (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ \cos 300^\circ = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Функция тангенс является нечетной, поэтому $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $.

$ \operatorname{tg}(-315^\circ) = -\operatorname{tg}(315^\circ) = -\operatorname{tg}(360^\circ - 45^\circ) = -(-\operatorname{tg} 45^\circ) = \operatorname{tg} 45^\circ = 1 $

Теперь подставим найденные значения в числитель:

$ \sin^2 315^\circ \cos 300^\circ + \operatorname{tg}(-315^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} $

Вычислим значения для знаменателя:

Функция синус является нечетной, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

$ \sin(-120^\circ) = -\sin(120^\circ) = -\sin(180^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим найденные значения в знаменатель:

$ \sin(-120^\circ) \cos 150^\circ = (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{4} $

Найдем значение всего выражения:

$ \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{5}{3} $

Ответ: $ \frac{5}{3} $

2) $ \sin \frac{5\pi}{4} \cos \frac{5\pi}{6} \operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} $

Для решения необходимо вычислить значение каждого множителя, используя формулы приведения.

$ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos \frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Функция тангенс является нечетной, поэтому $ \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x) $.

$ \operatorname{tg}(-\frac{2\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\frac{2\pi}{3}) = -\operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $

$ \operatorname{ctg} \frac{4\pi}{3} = \operatorname{ctg}(\pi + \frac{\pi}{3}) = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь перемножим все полученные значения:

$ (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{4} \cdot 1 = \frac{\sqrt{6}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{4} $

3) $ \frac{\sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 160^\circ \cos 100^\circ}{\sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 159^\circ \cos 99^\circ} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения:

$ \cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ $

$ \cos 100^\circ = \cos(90^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $

Подставим эти значения в числитель:

$ \sin 20^\circ \cos 10^\circ + (-\cos 20^\circ)(-\sin 10^\circ) = \sin 20^\circ \cos 10^\circ + \cos 20^\circ \sin 10^\circ $

Это выражение соответствует формуле синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен:

$ \sin(20^\circ + 10^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Теперь преобразуем знаменатель, также используя формулы приведения:

$ \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ $

$ \cos 99^\circ = \cos(90^\circ + 9^\circ) = -\sin 9^\circ $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \sin 21^\circ \cos 9^\circ + (-\cos 21^\circ)(-\sin 9^\circ) = \sin 21^\circ \cos 9^\circ + \cos 21^\circ \sin 9^\circ $

Это также формула синуса суммы.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \sin(21^\circ + 9^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Найдем значение дроби:

$ \frac{1/2}{1/2} = 1 $

Ответ: $1$

4) $ \frac{\cos 66^\circ \cos 6^\circ + \cos 84^\circ \cos 24^\circ}{\cos 65^\circ \cos 5^\circ + \cos 85^\circ \cos 25^\circ} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения для косинуса $ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha $:

$ \cos 84^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ $

$ \cos 24^\circ = \cos(90^\circ - 66^\circ) = \sin 66^\circ $

Подставим эти значения в числитель:

$ \cos 66^\circ \cos 6^\circ + \sin 6^\circ \sin 66^\circ $

Это выражение соответствует формуле косинуса разности: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $.

Таким образом, числитель равен:

$ \cos(66^\circ - 6^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Теперь преобразуем знаменатель, используя те же формулы приведения:

$ \cos 85^\circ = \cos(90^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ $

$ \cos 25^\circ = \cos(90^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ $

Подставим эти значения в знаменатель:

$ \cos 65^\circ \cos 5^\circ + \sin 5^\circ \sin 65^\circ $

Это также формула косинуса разности.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \cos(65^\circ - 5^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Найдем значение дроби:

$ \frac{1/2}{1/2} = 1 $

Ответ: $1$