Номер 22.13, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.13. Докажите тождество:

1) $ \left( \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \right)^2 + \left( \operatorname{ctg} \frac{9\pi}{4} + \operatorname{ctg}(\pi - \alpha) \right)^2 = \frac{2}{\sin^2 \alpha}; $

2) $ \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{\operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)} + \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = 1; $

3) $ \frac{\cos^4 (\alpha - \pi)}{\cos^4 \left( \alpha - \frac{3\pi}{2} \right) + \sin^4 \left( \alpha + \frac{3\pi}{2} \right)} - 1 = - \frac{1}{2} \operatorname{ctg}^2 \alpha. $

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим каждый член в скобках, используя формулы приведения и свойство периодичности тригонометрических функций.

Для первой скобки:
$\text{tg}\frac{5\pi}{4} = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1;$
$\text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}\alpha.$

Для второй скобки:
$\text{ctg}\frac{9\pi}{4} = \text{ctg}(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1;$
$\text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}\alpha.$

Теперь подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$(\text{tg}\frac{5\pi}{4} + \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 + (\text{ctg}\frac{9\pi}{4} + \text{ctg}(\pi - \alpha))^2 = (1 + \text{ctg}\alpha)^2 + (1 - \text{ctg}\alpha)^2.$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):

$(1 + 2\text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha) + (1 - 2\text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha) = 1 + 2\text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 1 - 2\text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha.$

Приведем подобные слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$:

$2 + 2\text{ctg}^2\alpha = 2(1 + \text{ctg}^2\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha} = \frac{2}{\sin^2\alpha}.$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что сумма углов в аргументах функций равна $\frac{\pi}{2}$:

$(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{2\pi + \pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}.$

Это комплементарные (дополнительные) углы. Обозначим $x = \frac{\pi}{6} - \alpha$. Тогда $\frac{\pi}{3} + \alpha = \frac{\pi}{2} - x$. Применим формулы приведения:

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x;$
$\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x.$

Подставим эти выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{\cos^2(\frac{\pi}{3} + \alpha)}{\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha)} + \sin^2(\frac{\pi}{3} + \alpha)\text{tg}^2(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sin^2 x}{\text{tg}^2 x} + \cos^2 x \cdot \text{tg}^2 x.$

Упростим каждое слагаемое, используя определение тангенса $\text{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

Первое слагаемое: $\frac{\sin^2 x}{\text{tg}^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \sin^2 x \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \cos^2 x.$

Второе слагаемое: $\cos^2 x \cdot \text{tg}^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \sin^2 x.$

Сложим полученные выражения:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1.$

Результат соответствует основному тригонометрическому тождеству. Левая часть равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Упростим выражения в числителе и знаменателе с помощью формул приведения.

Числитель: $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Тогда $\cos^4(\alpha - \pi) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.

Знаменатель:
$\cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha$. Тогда $\cos^4(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = (-\sin\alpha)^4 = \sin^4\alpha$.
$\sin(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos\alpha$. Тогда $\sin^4(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = (-\cos\alpha)^4 = \cos^4\alpha$.

Подставим упрощенные выражения в левую часть тождества:

$\frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - 1}.$

Для дальнейшего упрощения знаменателя воспользуемся формулой $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$. Она следует из основного тождества: $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Знаменатель принимает вид:

$(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) - 1 = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 1 = -2\sin^2\alpha\cos^2\alpha.$

Подставим полученный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\cos^4\alpha}{-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = -\frac{\cos^2\alpha}{2\sin^2\alpha} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}.$

По определению котангенса, $\text{ctg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$, поэтому выражение равно:

$-\frac{1}{2}\text{ctg}^2\alpha.$

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.