Номер 22.15, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.15. Упростите выражение:

1) $cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \text{tg}(\pi + \alpha);$

2) $\frac{\text{cos}^2(20^\circ - \alpha)}{\text{sin}^2(70^\circ + \alpha)} + \text{tg}(\alpha + 10^\circ)\text{ctg}(80^\circ - \alpha).$

1)

Рассмотрим выражение: $ \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) + \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha) $.

Упростим выражение по частям.

Первая часть: $ \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.

Воспользуемся формулой приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x) $. Представим $ \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $ в виде $ \cos(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) $. Применяя формулу, получаем $ \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Тогда $ \cos^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Подставим это в первую часть выражения:

$ \cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin^2(\frac{\pi}{4} + \alpha) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $, эта сумма равна 1.

Вторая часть: $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha) $.

Применим формулы приведения для каждого множителя:

• $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $ (угол в III четверти, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию).

• $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $ (угол в IV четверти, косинус положительный, функция меняется на кофункцию).

• $ \operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}\alpha $ (угол в III четверти, тангенс положительный, функция не меняется).

Перемножим упрощенные выражения:

$ (-\cos\alpha) \cdot (\sin\alpha) \cdot (\operatorname{tg}\alpha) $.

Так как $ \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, получаем:

$ (-\cos\alpha) \cdot (\sin\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sin^2\alpha $.

Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:

$ 1 + (-\sin^2\alpha) = 1 - \sin^2\alpha $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, из которого следует, что $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $.

Таким образом, исходное выражение равно $ \cos^2\alpha $.

Ответ: $ \cos^2\alpha $

2)

Рассмотрим выражение: $ \frac{\cos^2(20^\circ - \alpha)}{\sin^2(70^\circ + \alpha)} + \operatorname{tg}(\alpha + 10^\circ)\operatorname{ctg}(80^\circ - \alpha) $.

Упростим выражение по частям.

Первая часть (дробь): $ \frac{\cos^2(20^\circ - \alpha)}{\sin^2(70^\circ + \alpha)} $.

Воспользуемся формулой приведения $ \sin(x) = \cos(90^\circ - x) $. Применим её к знаменателю:

$ \sin(70^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - 20^\circ + \alpha) = \sin(90^\circ - (20^\circ - \alpha)) $.

По формуле приведения, это равно $ \cos(20^\circ - \alpha) $.

Следовательно, $ \sin^2(70^\circ + \alpha) = \cos^2(20^\circ - \alpha) $.

Подставим это в дробь:

$ \frac{\cos^2(20^\circ - \alpha)}{\cos^2(20^\circ - \alpha)} = 1 $.

Вторая часть (произведение): $ \operatorname{tg}(\alpha + 10^\circ)\operatorname{ctg}(80^\circ - \alpha) $.

Воспользуемся формулой приведения $ \operatorname{ctg}(x) = \operatorname{tg}(90^\circ - x) $. Применим её ко второму множителю:

$ \operatorname{ctg}(80^\circ - \alpha) = \operatorname{tg}(90^\circ - (80^\circ - \alpha)) = \operatorname{tg}(90^\circ - 80^\circ + \alpha) = \operatorname{tg}(10^\circ + \alpha) $.

Подставим это в произведение:

$ \operatorname{tg}(\alpha + 10^\circ) \cdot \operatorname{tg}(\alpha + 10^\circ) = \operatorname{tg}^2(\alpha + 10^\circ) $.

Теперь сложим результаты упрощения обеих частей:

$ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha + 10^\circ) $.

Используя тригонометрическое тождество $ 1 + \operatorname{tg}^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} $, получаем:

$ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha + 10^\circ) = \frac{1}{\cos^2(\alpha + 10^\circ)} $.

Ответ: $ \frac{1}{\cos^2(\alpha + 10^\circ)} $