Номер 23.2, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.2. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $ \sin 10\alpha $; 2) $ \cos \frac{\alpha}{4} $; 3) $ \cos \left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) $; 4) $ \operatorname{tg} 12\alpha $.

1) Для того чтобы применить формулу двойного угла к выражению $\sin 10\alpha$, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Представим аргумент $10\alpha$ как $2 \cdot (5\alpha)$. В этом случае "половинный" угол $x$ из формулы соответствует $5\alpha$.

Подставляя $5\alpha$ вместо $x$ в формулу, получаем:

$\sin 10\alpha = 2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$.

Ответ: $2\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)$.

2) Для выражения $\cos \frac{\alpha}{4}$ применим формулы косинуса двойного угла. Представим аргумент $\frac{\alpha}{4}$ как $2 \cdot \left(\frac{\alpha}{8}\right)$. В этом случае "половинный" угол равен $\frac{\alpha}{8}$.

В зависимости от выбранной формы формулы косинуса двойного угла ($\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$, $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ или $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$), мы можем получить три эквивалентных результата:

• $\cos \frac{\alpha}{4} = \cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$
• $\cos \frac{\alpha}{4} = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - 1$
• $\cos \frac{\alpha}{4} = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$

Ответ: $\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$, или $2\cos^2\left(\frac{\alpha}{8}\right) - 1$, или $1 - 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{8}\right)$.

3) Для выражения $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right)$ также используем формулы косинуса двойного угла. Представим аргумент $\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right)$ как $2 \cdot \left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$. В данном случае "половинным" углом является $\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$.

Применяя три варианта формулы косинуса двойного угла, получаем:

• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = \cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$
• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = 2\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - 1$
• $\cos\left(\frac{x}{2} - 20^\circ\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$

Ответ: $\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - \sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$, или $2\cos^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right) - 1$, или $1 - 2\sin^2\left(\frac{x}{4} - 10^\circ\right)$.

4) К выражению $\tan 12\alpha$ применим формулу тангенса двойного угла: $\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$.

Представим аргумент $12\alpha$ как $2 \cdot (6\alpha)$. Здесь "половинный" угол $x$ из формулы равен $6\alpha$.

Подставляя $6\alpha$ в формулу, получаем:

$\tan 12\alpha = \frac{2\tan(6\alpha)}{1 - \tan^2(6\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2\tan(6\alpha)}{1 - \tan^2(6\alpha)}$.