Номер 23.4, страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $\frac{\sin 80^\circ}{\cos 40^\circ}$;

2) $\cos 4\beta + \sin^2 2\beta$;

3) $\cos 6\alpha + 2\sin^2 3\alpha$;

4) $\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ}$;

5) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}$;

6) $\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$;

7) $\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}$;

8) $\sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

9) $\sin^2 (\beta - 45^\circ) - \cos^2 (\beta - 45^\circ)$;

10) $\frac{2 \operatorname{tg} 1,5\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 1,5\alpha}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin{80^\circ}}{\cos{40^\circ}}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Представим числитель как $\sin{80^\circ} = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin{40^\circ}\cos{40^\circ}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{2\sin{40^\circ}\cos{40^\circ}}{\cos{40^\circ}}$. Сократим $\cos{40^\circ}$ в числителе и знаменателе. Получим: $2\sin{40^\circ}$.
Ответ: $2\sin{40^\circ}$.

2) Для упрощения выражения $\cos{4\beta} + \sin^2{2\beta}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$. Представим $\cos{4\beta}$ как $\cos(2 \cdot 2\beta)$. Пусть $\alpha = 2\beta$, тогда $\cos{4\beta} = 1 - 2\sin^2{2\beta}$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\sin^2{2\beta}) + \sin^2{2\beta} = 1 - \sin^2{2\beta}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, получим $1 - \sin^2{2\beta} = \cos^2{2\beta}$.
Ответ: $\cos^2{2\beta}$.

3) Для упрощения выражения $\cos{6\alpha} + 2\sin^2{3\alpha}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$. Представим $\cos{6\alpha}$ как $\cos(2 \cdot 3\alpha)$. Пусть $x = 3\alpha$, тогда $\cos{6\alpha} = 1 - 2\sin^2{3\alpha}$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\sin^2{3\alpha}) + 2\sin^2{3\alpha}$. Взаимно уничтожим $-2\sin^2{3\alpha}$ и $2\sin^2{3\alpha}$. Получим: $1$.
Ответ: $1$.

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos{70^\circ}}{\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ}}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$. Представим числитель как $\cos{70^\circ} = \cos(2 \cdot 35^\circ) = \cos^2{35^\circ} - \sin^2{35^\circ}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $(\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ})(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})$. Подставим в дробь: $\frac{(\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ})(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})}{\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ}}$. Сократим общий множитель $(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})$. Получим: $\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ}$.
Ответ: $\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ}$.

5) Для упрощения выражения $\frac{1 + \sin{2\alpha}}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$ преобразуем числитель. Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Числитель примет вид: $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$. Подставим в дробь: $\frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$. При условии, что $\sin{\alpha} + \cos{\alpha} \neq 0$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

6) В выражении $\sin{\alpha}\cos{\alpha}(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})$ узнаем формулы двойных углов. $\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$. Выражение принимает вид: $\sin{\alpha}\cos{\alpha}\cos{2\alpha}$. Из формулы синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ следует, что $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$. Подставим это: $\frac{1}{2}\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Снова применим формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin{4\alpha} = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Отсюда $\sin{2\alpha}\cos{2\alpha} = \frac{1}{2}\sin{4\alpha}$. Подставим и получим: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin{4\alpha} = \frac{1}{4}\sin{4\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{4}\sin{4\alpha}$.

7) Для упрощения выражения $\frac{\sin{4\alpha}}{\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha}}$ преобразуем знаменатель как разность квадратов: $\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} = (\cos^2{\alpha})^2 - (\sin^2{\alpha})^2 = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha})$. Используя $\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1$ и $\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$, получаем, что знаменатель равен $\cos{2\alpha}$. Преобразуем числитель по формуле синуса двойного угла: $\sin{4\alpha} = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$. Сократим $\cos{2\alpha}$. Получим: $2\sin{2\alpha}$.
Ответ: $2\sin{2\alpha}$.

8) Выражение $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ похоже на часть формулы синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$, из которой $\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$. Пусть $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда выражение равно $\frac{1}{2}\sin(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{4} - 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Применяя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos{y}$, получим: $\frac{1}{2}\cos{2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\cos{2\alpha}$.

9) В выражении $\sin^2(\beta - 45^\circ) - \cos^2(\beta - 45^\circ)$ вынесем минус за скобки: $-(\cos^2(\beta - 45^\circ) - \sin^2(\beta - 45^\circ))$. Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$. Пусть $x = \beta - 45^\circ$. Тогда выражение равно $-\cos(2(\beta - 45^\circ)) = -\cos(2\beta - 90^\circ)$. Так как косинус - четная функция, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, то $\cos(2\beta - 90^\circ) = \cos(90^\circ - 2\beta)$. Выражение примет вид $-\cos(90^\circ - 2\beta)$. Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - y) = \sin{y}$, получим: $-\sin{2\beta}$.
Ответ: $-\sin{2\beta}$.

10) Выражение $\frac{2\tg{1.5\alpha}}{1 + \tg^2{1.5\alpha}}$ соответствует формуле синуса двойного угла, выраженной через тангенс: $\sin{2x} = \frac{2\tg{x}}{1 + \tg^2{x}}$. Пусть $x = 1.5\alpha$. Тогда исходное выражение равно $\sin(2 \cdot 1.5\alpha) = \sin(3\alpha)$.
Ответ: $\sin{3\alpha}$.