Страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1) $\frac{\sin 80^\circ}{\cos 40^\circ}$;

2) $\cos 4\beta + \sin^2 2\beta$;

3) $\cos 6\alpha + 2\sin^2 3\alpha$;

4) $\frac{\cos 70^\circ}{\cos 35^\circ + \sin 35^\circ}$;

5) $\frac{1 + \sin 2\alpha}{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}$;

6) $\sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$;

7) $\frac{\sin 4\alpha}{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}$;

8) $\sin \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$;

9) $\sin^2 (\beta - 45^\circ) - \cos^2 (\beta - 45^\circ)$;

10) $\frac{2 \operatorname{tg} 1,5\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 1,5\alpha}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\sin{80^\circ}}{\cos{40^\circ}}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Представим числитель как $\sin{80^\circ} = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin{40^\circ}\cos{40^\circ}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{2\sin{40^\circ}\cos{40^\circ}}{\cos{40^\circ}}$. Сократим $\cos{40^\circ}$ в числителе и знаменателе. Получим: $2\sin{40^\circ}$.
Ответ: $2\sin{40^\circ}$.

2) Для упрощения выражения $\cos{4\beta} + \sin^2{2\beta}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha}$. Представим $\cos{4\beta}$ как $\cos(2 \cdot 2\beta)$. Пусть $\alpha = 2\beta$, тогда $\cos{4\beta} = 1 - 2\sin^2{2\beta}$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\sin^2{2\beta}) + \sin^2{2\beta} = 1 - \sin^2{2\beta}$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, получим $1 - \sin^2{2\beta} = \cos^2{2\beta}$.
Ответ: $\cos^2{2\beta}$.

3) Для упрощения выражения $\cos{6\alpha} + 2\sin^2{3\alpha}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$. Представим $\cos{6\alpha}$ как $\cos(2 \cdot 3\alpha)$. Пусть $x = 3\alpha$, тогда $\cos{6\alpha} = 1 - 2\sin^2{3\alpha}$. Подставим это в исходное выражение: $(1 - 2\sin^2{3\alpha}) + 2\sin^2{3\alpha}$. Взаимно уничтожим $-2\sin^2{3\alpha}$ и $2\sin^2{3\alpha}$. Получим: $1$.
Ответ: $1$.

4) Для упрощения выражения $\frac{\cos{70^\circ}}{\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ}}$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$. Представим числитель как $\cos{70^\circ} = \cos(2 \cdot 35^\circ) = \cos^2{35^\circ} - \sin^2{35^\circ}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $(\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ})(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})$. Подставим в дробь: $\frac{(\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ})(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})}{\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ}}$. Сократим общий множитель $(\cos{35^\circ} + \sin{35^\circ})$. Получим: $\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ}$.
Ответ: $\cos{35^\circ} - \sin{35^\circ}$.

5) Для упрощения выражения $\frac{1 + \sin{2\alpha}}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$ преобразуем числитель. Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}$ и формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Числитель примет вид: $\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Это выражение является полным квадратом суммы: $(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2$. Подставим в дробь: $\frac{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}{(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2}$. При условии, что $\sin{\alpha} + \cos{\alpha} \neq 0$, дробь равна 1.
Ответ: $1$.

6) В выражении $\sin{\alpha}\cos{\alpha}(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})$ узнаем формулы двойных углов. $\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$. Выражение принимает вид: $\sin{\alpha}\cos{\alpha}\cos{2\alpha}$. Из формулы синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$ следует, что $\sin{\alpha}\cos{\alpha} = \frac{1}{2}\sin{2\alpha}$. Подставим это: $\frac{1}{2}\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Снова применим формулу синуса двойного угла для аргумента $2\alpha$: $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin{4\alpha} = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Отсюда $\sin{2\alpha}\cos{2\alpha} = \frac{1}{2}\sin{4\alpha}$. Подставим и получим: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin{4\alpha} = \frac{1}{4}\sin{4\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{4}\sin{4\alpha}$.

7) Для упрощения выражения $\frac{\sin{4\alpha}}{\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha}}$ преобразуем знаменатель как разность квадратов: $\cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} = (\cos^2{\alpha})^2 - (\sin^2{\alpha})^2 = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha})$. Используя $\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1$ и $\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = \cos{2\alpha}$, получаем, что знаменатель равен $\cos{2\alpha}$. Преобразуем числитель по формуле синуса двойного угла: $\sin{4\alpha} = \sin(2 \cdot 2\alpha) = 2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}$. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{2\sin{2\alpha}\cos{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$. Сократим $\cos{2\alpha}$. Получим: $2\sin{2\alpha}$.
Ответ: $2\sin{2\alpha}$.

8) Выражение $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ похоже на часть формулы синуса двойного угла $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$, из которой $\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$. Пусть $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Тогда выражение равно $\frac{1}{2}\sin(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{4} - 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$. Применяя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos{y}$, получим: $\frac{1}{2}\cos{2\alpha}$.
Ответ: $\frac{1}{2}\cos{2\alpha}$.

9) В выражении $\sin^2(\beta - 45^\circ) - \cos^2(\beta - 45^\circ)$ вынесем минус за скобки: $-(\cos^2(\beta - 45^\circ) - \sin^2(\beta - 45^\circ))$. Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$. Пусть $x = \beta - 45^\circ$. Тогда выражение равно $-\cos(2(\beta - 45^\circ)) = -\cos(2\beta - 90^\circ)$. Так как косинус - четная функция, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, то $\cos(2\beta - 90^\circ) = \cos(90^\circ - 2\beta)$. Выражение примет вид $-\cos(90^\circ - 2\beta)$. Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - y) = \sin{y}$, получим: $-\sin{2\beta}$.
Ответ: $-\sin{2\beta}$.

10) Выражение $\frac{2\tg{1.5\alpha}}{1 + \tg^2{1.5\alpha}}$ соответствует формуле синуса двойного угла, выраженной через тангенс: $\sin{2x} = \frac{2\tg{x}}{1 + \tg^2{x}}$. Пусть $x = 1.5\alpha$. Тогда исходное выражение равно $\sin(2 \cdot 1.5\alpha) = \sin(3\alpha)$.
Ответ: $\sin{3\alpha}$.

23.5. Вычислите:

1) $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ$;

2) $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$;

3) $1-2\sin^2 \frac{\pi}{12}$;

4) $\sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'$;

5) $\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 165^\circ}$;

6) $\frac{1-\operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ}$.

1) Для вычисления выражения $2\sin 75^\circ \cos 75^\circ$ используется формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$.
В данном случае $\alpha = 75^\circ$.
$2\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \sin(2 \cdot 75^\circ) = \sin(150^\circ)$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Выражение $\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ$ соответствует формуле косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Здесь $\alpha = 15^\circ$.
$\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Значение косинуса 30 градусов является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Выражение $1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12}$ является одной из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
$1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{2\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.
Значение косинуса $\frac{\pi}{6}$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Для выражения $\sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'$ воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Сначала преобразуем угол в десятичные градусы: $30' = (30/60)^\circ = 0.5^\circ$, поэтому $22^\circ 30' = 22.5^\circ$.
Здесь $\alpha = 22.5^\circ$.
$\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 22.5^\circ) = \frac{1}{2}\sin(45^\circ)$.
Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

5) Выражение $\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 165^\circ}$ соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
Здесь $\alpha = 165^\circ$.
$\frac{2\operatorname{tg} 165^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 165^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 165^\circ) = \operatorname{tg}(330^\circ)$.
Используя формулу приведения $\operatorname{tg}(360^\circ - x) = -\operatorname{tg} x$, получаем:
$\operatorname{tg}(330^\circ) = \operatorname{tg}(360^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

6) Для вычисления выражения $\frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ}$ преобразуем его, используя формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$.
$\frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{\operatorname{tg} 15^\circ} = \frac{2(1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ)}{2\operatorname{tg} 15^\circ} = 2 \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}{2\operatorname{tg} 15^\circ} = 2 \cdot \frac{1}{\frac{2\operatorname{tg} 15^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 15^\circ}}$.
Это выражение равно $2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}(2 \cdot 15^\circ)} = 2 \cdot \frac{1}{\operatorname{tg}(30^\circ)}$.
Так как $\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$, то получаем $2\operatorname{ctg}(30^\circ)$.
Табличное значение $\operatorname{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $2\operatorname{ctg}(30^\circ) = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

23.6. Вычислите:

1) $ \cos^2 22^\circ 30' - \sin^2 22^\circ 30' $

2) $ \frac{2\operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} $

3) $ 2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} $

4) $ 1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12} $

1) Исходное выражение: $cos^2 22^\circ30' - sin^2 22^\circ30'$.

Это выражение соответствует формуле косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

В нашем случае, $\alpha = 22^\circ30'$.

Применим формулу:

$cos^2 22^\circ30' - sin^2 22^\circ30' = cos(2 \cdot 22^\circ30')$.

Вычислим угол:

$2 \cdot 22^\circ30' = 44^\circ60' = 45^\circ$.

Таким образом, выражение равно $cos(45^\circ)$.

Значение косинуса $45^\circ$ является табличным:

$cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Исходное выражение: $\frac{2\operatorname{tg}75^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 75^\circ}$.

Это выражение соответствует формуле тангенса двойного угла: $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$.

В данном случае, $\alpha = 75^\circ$.

Применим формулу:

$\frac{2\operatorname{tg}75^\circ}{1-\operatorname{tg}^2 75^\circ} = \operatorname{tg}(2 \cdot 75^\circ)$.

Вычислим угол:

$2 \cdot 75^\circ = 150^\circ$.

Таким образом, выражение равно $\operatorname{tg}(150^\circ)$.

Используя формулу приведения, найдем значение $\operatorname{tg}(150^\circ)$:

$\operatorname{tg}(150^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg}(30^\circ)$.

Значение тангенса $30^\circ$ является табличным:

$-\operatorname{tg}(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Исходное выражение: $2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}$.

Это выражение соответствует формуле синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Здесь $\alpha = \frac{3\pi}{8}$.

Применим формулу:

$2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{8})$.

Вычислим угол:

$2 \cdot \frac{3\pi}{8} = \frac{6\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, выражение равно $\sin(\frac{3\pi}{4})$.

Используя формулу приведения, найдем значение $\sin(\frac{3\pi}{4})$:

$\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение синуса $\frac{\pi}{4}$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Исходное выражение: $1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12}$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Преобразуем исходное выражение, вынеся минус за скобки:

$1 - 2\cos^2\frac{\pi}{12} = -(2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1)$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса двойного угла, где $\alpha = \frac{\pi}{12}$.

$-(2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})$.

Вычислим угол:

$2 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.

Таким образом, выражение равно $-\cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение косинуса $\frac{\pi}{6}$ является табличным:

$-\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

23.7. Найдите $ \sin 2\alpha $, если $ \sin \alpha = -0,6 $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

Для того чтобы найти значение $\sin 2\alpha$, мы воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

В условии задачи дано значение $\sin \alpha = -0,6$. Чтобы применить формулу, нам необходимо найти значение $\cos \alpha$. Мы можем сделать это с помощью основного тригонометрического тождества:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Выразим из этого тождества $\cos^2 \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

Теперь подставим известное значение $\sin \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Из этого следует, что $\cos \alpha = \sqrt{0,64}$ или $\cos \alpha = -\sqrt{0,64}$. Таким образом, $\cos \alpha = 0,8$ или $\cos \alpha = -0,8$.

Чтобы выбрать правильный знак для $\cos \alpha$, обратимся к другому условию задачи: $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV координатной четверти. В IV четверти значения косинуса положительны.

Следовательно, мы выбираем положительное значение: $\cos \alpha = 0,8$.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления $\sin 2\alpha$:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (-0,6) \cdot 0,8$

$\sin 2\alpha = -1,2 \cdot 0,8 = -0,96$

Ответ: $-0,96$.

23.8. Найдите $ \sin 2\alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{5}{13} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

23.8.

Для того чтобы найти $\sin(2\alpha)$, воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Из условия задачи нам дано, что $\cos(\alpha) = -\frac{5}{13}$. Чтобы использовать формулу двойного угла, нам нужно найти значение $\sin(\alpha)$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

Подставим известное значение $\cos(\alpha)$ в это тождество:

$\sin^2(\alpha) + (-\frac{5}{13})^2 = 1$

$\sin^2(\alpha) + \frac{25}{169} = 1$

Теперь выразим $\sin^2(\alpha)$:

$\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Отсюда $\sin(\alpha)$ может принимать два значения: $\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ или $\sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.

Чтобы выбрать правильный знак, обратимся к условию, что угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Этот интервал соответствует второй координатной четверти. Во второй четверти синус имеет положительный знак.

Следовательно, мы выбираем значение со знаком плюс: $\sin(\alpha) = \frac{12}{13}$.

Теперь мы можем вычислить $\sin(2\alpha)$, подставив значения $\sin(\alpha)$ и $\cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot (\frac{12}{13}) \cdot (-\frac{5}{13})$

$\sin(2\alpha) = -\frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = -\frac{120}{169}$

Ответ: $-\frac{120}{169}$

23.9. Найдите $ \cos 2\alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

23.9.

Чтобы найти значение $ \cos{2\alpha} $, мы можем использовать одну из формул косинуса двойного угла. Поскольку нам известно значение $ \cos{\alpha} $, наиболее удобной будет следующая формула:

$ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $

Согласно условию задачи, нам дано:

$ \cos{\alpha} = \frac{1}{3} $

Теперь подставим это значение в формулу косинуса двойного угла:

$ \cos{2\alpha} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 $

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведем в квадрат $ \frac{1}{3} $:

$ \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9} $

Теперь подставим результат обратно в выражение:

$ \cos{2\alpha} = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 $

Умножим 2 на $ \frac{1}{9} $:

$ \cos{2\alpha} = \frac{2}{9} - 1 $

Для вычитания приведем 1 к общему знаменателю 9:

$ \cos{2\alpha} = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} $

Выполним вычитание дробей:

$ \cos{2\alpha} = \frac{2 - 9}{9} = -\frac{7}{9} $

Ответ: $ -\frac{7}{9} $.

23.10. Найдите $cos 2\alpha$, если $sin \alpha = -\frac{1}{4}$.

23.10. Для нахождения значения $cos(2\alpha)$, когда известно значение $sin(\alpha)$, удобно использовать формулу косинуса двойного угла, которая связывает эти две величины:
$cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2(\alpha)$
По условию задачи нам дано, что $sin(\alpha) = -\frac{1}{4}$.
Подставим это значение в формулу:
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2$
Теперь последовательно выполним вычисления:
1. Сначала возведем в квадрат значение синуса:
$\left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$
2. Подставим полученный результат в наше выражение:
$cos(2\alpha) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{16}$
3. Выполним умножение:
$cos(2\alpha) = 1 - \frac{2}{16}$
4. Сократим полученную дробь:
$cos(2\alpha) = 1 - \frac{1}{8}$
5. Выполним вычитание, представив 1 как $\frac{8}{8}$:
$cos(2\alpha) = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
Ответ: $\frac{7}{8}$.

23.11. Найдите $tg 2\alpha$, если:

1) $tg \alpha = 4;$

2) $sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1) tg α = 4;

Для нахождения $tg(2\alpha)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Подставим известное значение $tg(\alpha) = 4$ в эту формулу:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot 4}{1 - 4^2} = \frac{8}{1 - 16} = \frac{8}{-15} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$.

2) sin α = $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Для вычисления $tg(2\alpha)$ нам сначала необходимо найти значение $tg(\alpha)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, найдем $cos(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), значение косинуса будет положительным:

$cos(\alpha) = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Теперь мы можем найти $tg(\alpha)$ по определению тангенса:

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Наконец, подставим найденное значение $tg(\alpha)$ в формулу тангенса двойного угла:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}{1 - (\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{1 - \frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\frac{4-5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{-\frac{1}{4}} = -4\sqrt{5}$

Ответ: $-4\sqrt{5}$.

23.12. Найдите $tg 2\alpha$, если:

1) $ctg \alpha = 2$;

2) $cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) Для нахождения $tg(2\alpha)$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Сначала найдем $tg(\alpha)$. Мы знаем, что $tg(\alpha)$ и $ctg(\alpha)$ — взаимно обратные величины:

$tg(\alpha) = \frac{1}{ctg(\alpha)}$

По условию $ctg(\alpha) = 2$, следовательно:

$tg(\alpha) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение $tg(\alpha)$ в формулу для $tg(2\alpha)$:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{4-1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Снова используем формулу тангенса двойного угла:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)}$

Нам нужно найти $tg(\alpha)$, зная, что $cos(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$). В третьей четверти тангенс положителен.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, чтобы найти $sin(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $sin(\alpha)$ имеет отрицательное значение:

$sin(\alpha) = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

Теперь найдем $tg(\alpha)$ по определению:

$tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$

Подставим значение $tg(\alpha) = \frac{4}{3}$ в формулу для $tg(2\alpha)$:

$tg(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{8 \cdot 3}{7} = -\frac{24}{7}$

Ответ: $-\frac{24}{7}$.

23.13. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos 4\alpha$;

2) $1 + \cos \frac{\alpha}{3}$;

3) $1 - \cos 50^{\circ}$;

4) $1 + \sin 2\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - \cos 4\alpha$ используется формула понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В данном случае аргумент косинуса $4\alpha$, поэтому мы принимаем $2x = 4\alpha$, откуда следует, что $x = \frac{4\alpha}{2} = 2\alpha$.
Подставляем это значение в формулу:
$1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$.
Полученное выражение является произведением, так как $2\sin^2(2\alpha) = 2 \cdot \sin(2\alpha) \cdot \sin(2\alpha)$.
Ответ: $2\sin^2(2\alpha)$.

2) Для выражения $1 + \cos \frac{\alpha}{3}$ применяется другая вариация формулы понижения степени, также следующая из формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
Здесь $2x = \frac{\alpha}{3}$, следовательно $x = \frac{\alpha}{3 \cdot 2} = \frac{\alpha}{6}$.
Применяем формулу:
$1 + \cos \frac{\alpha}{3} = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.
Это произведение: $2 \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{6}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.
Ответ: $2\cos^2\left(\frac{\alpha}{6}\right)$.

3) Выражение $1 - \cos 50^\circ$ преобразуется аналогично первому примеру, используя формулу $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.
В этом случае $2x = 50^\circ$, значит $x = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.
Подставляем в формулу:
$1 - \cos 50^\circ = 2\sin^2(25^\circ)$.
Ответ: $2\sin^2(25^\circ)$.

4) Для преобразования выражения $1 + \sin 2\alpha$ сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы заменить синус на косинус: $\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ (или $\sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta)$).
Применим ее к $\sin 2\alpha$:
$\sin 2\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Теперь исходное выражение выглядит так: $1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Далее используем формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.
В нашем случае $2x = \frac{\pi}{2} - 2\alpha$, откуда $x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \alpha$.
Подставляя, получаем итоговый результат:
$1 + \sin 2\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Ответ: $2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.