Страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.7. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\cos\alpha$;

2) $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$;

3) $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$.

1) Для преобразования выражения $1 - 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель $2$ за скобки. Затем представим число $\frac{1}{2}$ как значение косинуса известного угла. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

$1 - 2\cos\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\right)$

Далее применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2\left(\cos\frac{\pi}{3} - \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $-4\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\cos\alpha$ в произведение, вынесем множитель $2$ за скобки. Затем представим число $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса известного угла. Мы знаем, что $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sqrt{3} + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right)$

Далее применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

3) Для преобразования выражения $1 - \sqrt{2}\sin\alpha$ в произведение, вынесем множитель $\sqrt{2}$ за скобки. Затем представим число $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (что равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$) как значение синуса известного угла. Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$1 - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\right)$

Далее применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.

В данном случае $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$. Подставим эти значения в формулу:

$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4} - \sin\alpha\right) = \sqrt{2} \cdot \left(2\sin\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\right) = 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)$

24.8. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\sin\alpha;$

2) $\sqrt{3} - 2\cos\alpha;$

3) $\sqrt{2} + 2\cos\alpha.$

1) Для преобразования выражения $1 - 2\sin\alpha$ вынесем за скобки множитель 2, а затем представим $\frac{1}{2}$ как значение синуса известного угла, например, $\sin\frac{\pi}{6}$.

$1 - 2\sin\alpha = 2\left(\frac{1}{2} - \sin\alpha\right) = 2\left(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\right)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)$.

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} - 2\cos\alpha$ вынесем за скобки множитель 2. После этого представим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ как значение косинуса известного угла, например, $\cos\frac{\pi}{6}$.

$\sqrt{3} - 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\right)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(-2\sin\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $-4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$.

3) Для преобразования выражения $\sqrt{2} + 2\cos\alpha$ вынесем за скобки множитель 2. Затем представим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ как значение косинуса известного угла, например, $\cos\frac{\pi}{4}$.

$\sqrt{2} + 2\cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\right)$

Применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$2\left(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha\right) = 2 \cdot \left(2\cos\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$.

24.9. Докажите тождество:

1) $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin \frac{\alpha}{2} \sin \alpha \cos \frac{9\alpha}{2} $

2) $ \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) + \sin(3\pi - 8\alpha) - \sin(4\pi - 12\alpha) = 4\cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $

3) $ \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha) $

4) $ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha} = \text{tg } 4\alpha $

5) $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha - \sin \alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} $

6) $ \frac{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos \alpha + 2\cos^2 \alpha - 1} = 2\cos \alpha $

7) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 = 4\sin^2 \frac{\alpha - \beta}{2} $

8) $ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 - 1 + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \text{tg } \alpha $

9) $ \left(\frac{\sin \alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\cos \alpha}{\cos 2\alpha}\right) \cdot \frac{\cos \alpha - \cos 7\alpha}{\sin \alpha} = -4\sin 3\alpha $

10) $ \frac{(\cos \alpha - \cos 3\alpha)(\sin \alpha + \sin 3\alpha)}{1 - \cos 4\alpha} = \sin 2\alpha $

1) Докажем тождество $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin\frac{\alpha}{2} \sin\alpha \cos\frac{9\alpha}{2} $.

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$ L = (\cos 6\alpha + \cos 3\alpha) - (\cos 5\alpha + \cos 4\alpha) $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \cos 6\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos\frac{9\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} $

$ \cos 5\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos\frac{9\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$ L = 2\cos\frac{9\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} - 2\cos\frac{9\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $

Вынесем общий множитель $ 2\cos\frac{9\alpha}{2} $ за скобки:

$ L = 2\cos\frac{9\alpha}{2} \left(\cos\frac{3\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}\right) $

Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \cos\frac{3\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = -2\sin\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\sin\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = -2\sin\frac{2\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} = -2\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2} $

Подставим это выражение в левую часть:

$ L = 2\cos\frac{9\alpha}{2} \left(-2\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\right) = -4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\alpha\cos\frac{9\alpha}{2} $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \cos 3\alpha - \cos 4\alpha - \cos 5\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin\frac{\alpha}{2} \sin\alpha \cos\frac{9\alpha}{2} $

2) Докажем тождество $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) + \sin(3\pi - 8\alpha) - \sin(4\pi - 12\alpha) = 4\cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $.

Упростим левую часть, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций:

$ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) = \sin 4\alpha $

$ \sin(3\pi - 8\alpha) = \sin(\pi - 8\alpha) = \sin 8\alpha $

$ \sin(4\pi - 12\alpha) = \sin(-12\alpha) = -\sin 12\alpha $

Тогда левая часть принимает вид:

$ L = \sin 4\alpha + \sin 8\alpha - (-\sin 12\alpha) = \sin 4\alpha + \sin 8\alpha + \sin 12\alpha $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ L = (\sin 12\alpha + \sin 4\alpha) + \sin 8\alpha = 2\sin\frac{12\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{12\alpha-4\alpha}{2} + \sin 8\alpha $

$ L = 2\sin 8\alpha \cos 4\alpha + \sin 8\alpha $

Вынесем общий множитель $ \sin 8\alpha $:

$ L = \sin 8\alpha (2\cos 4\alpha + 1) $

Чтобы получить правую часть, преобразуем выражение иначе. Вернемся к $ L = \sin 4\alpha + \sin 8\alpha + \sin 12\alpha $ и сгруппируем по-другому:

$ L = (\sin 8\alpha + \sin 4\alpha) + \sin 12\alpha = 2\sin\frac{8\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-4\alpha}{2} + \sin 12\alpha $

$ L = 2\sin 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 12\alpha $

Применим формулу двойного угла $ \sin 12\alpha = 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha $:

$ L = 2\sin 6\alpha \cos 2\alpha + 2\sin 6\alpha \cos 6\alpha = 2\sin 6\alpha (\cos 2\alpha + \cos 6\alpha) $

Применим формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \cos 6\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha \cos 2\alpha $

Подставим это в выражение для $L$:

$ L = 2\sin 6\alpha (2\cos 4\alpha \cos 2\alpha) = 4\cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) + \sin(3\pi - 8\alpha) - \sin(4\pi - 12\alpha) = 4\cos 2\alpha \cos 4\alpha \sin 6\alpha $

3) Докажем тождество $ \cos^2\alpha - \cos^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha) $.

Преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $ \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} $:

$ L = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} - \frac{1+\cos 2\beta}{2} = \frac{1+\cos 2\alpha - 1 - \cos 2\beta}{2} = \frac{\cos 2\alpha - \cos 2\beta}{2} $

Применим формулу разности косинусов $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ L = \frac{-2\sin\frac{2\alpha+2\beta}{2}\sin\frac{2\alpha-2\beta}{2}}{2} = -\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) $

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin x $, получим:

$ L = -\sin(\alpha+\beta)(-\sin(-(\alpha-\beta))) = -\sin(\alpha+\beta)(-\sin(\beta-\alpha)) = \sin(\alpha+\beta)\sin(\beta-\alpha) $

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $ \cos^2\alpha - \cos^2\beta = \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta - \alpha) $

4) Докажем тождество $ \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha} = \mathrm{tg}\,4\alpha $.

Преобразуем числитель, сгруппировав слагаемые и применив формулу суммы синусов:

$ N = (\sin 7\alpha + \sin\alpha) + (\sin 5\alpha + \sin 3\alpha) $

$ N = 2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} $

$ N = 2\sin 4\alpha\cos 3\alpha + 2\sin 4\alpha\cos\alpha = 2\sin 4\alpha(\cos 3\alpha + \cos\alpha) $

Преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые и применив формулу суммы косинусов:

$ D = (\cos 7\alpha + \cos\alpha) + (\cos 5\alpha + \cos 3\alpha) $

$ D = 2\cos\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} + 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} $

$ D = 2\cos 4\alpha\cos 3\alpha + 2\cos 4\alpha\cos\alpha = 2\cos 4\alpha(\cos 3\alpha + \cos\alpha) $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{N}{D} = \frac{2\sin 4\alpha(\cos 3\alpha + \cos\alpha)}{2\cos 4\alpha(\cos 3\alpha + \cos\alpha)} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} = \mathrm{tg}\,4\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \cos 7\alpha} = \mathrm{tg}\,4\alpha $

5) Докажем тождество $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2\alpha - 1)}{\cos\alpha - \sin\alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} $.

Упростим числитель, используя формулу $ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $:

$ N = 2(\sin 2\alpha + (2\cos^2\alpha - 1)) = 2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha) $

Преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые:

$ D = (\sin 3\alpha - \sin\alpha) + (\cos\alpha - \cos 3\alpha) $

Применим формулы разности синусов и косинусов:

$ \sin 3\alpha - \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos 2\alpha $

$ \cos\alpha - \cos 3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin 2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin 2\alpha\sin\alpha $

$ D = 2\sin\alpha\cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha) $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{N}{D} = \frac{2(\sin 2\alpha + \cos 2\alpha)}{2\sin\alpha(\cos 2\alpha + \sin 2\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha} $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{2(\sin 2\alpha + 2\cos^2\alpha - 1)}{\cos\alpha - \sin\alpha - \cos 3\alpha + \sin 3\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha} $

6) Докажем тождество $ \frac{1 + \cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1} = 2\cos\alpha $.

Преобразуем числитель, сгруппировав $ (1 + \cos 2\alpha) $ и $ (\cos\alpha + \cos 3\alpha) $:

$ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha $

$ \cos\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos 2\alpha\cos\alpha $

$ N = 2\cos^2\alpha + 2\cos 2\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos 2\alpha) $

Преобразуем знаменатель, используя формулу $ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 $:

$ D = \cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = \cos\alpha + \cos 2\alpha $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{N}{D} = \frac{2\cos\alpha(\cos\alpha + \cos 2\alpha)}{\cos\alpha + \cos 2\alpha} = 2\cos\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{1 + \cos\alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1} = 2\cos\alpha $

7) Докажем тождество $ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Раскроем скобки в левой части:

$ L = (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) $

Сгруппируем слагаемые:

$ L = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $, получим:

$ L = 1 + 1 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2(1 - \cos(\alpha-\beta)) $

Применим формулу половинного угла $ 1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2} $:

$ L = 2 \cdot 2\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} = 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $

Тождество доказано.

Ответ: $ (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 4\sin^2\frac{\alpha-\beta}{2} $

8) Докажем тождество $ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \mathrm{tg}\,\alpha $.

Преобразуем числитель. Раскроем скобки:

$ N = (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) - 1 + \sin 4\alpha $

Используя $ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 $ и $ 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha $:

$ N = (1 - \sin 2\alpha) - 1 + \sin 4\alpha = \sin 4\alpha - \sin 2\alpha $

Применим формулу двойного угла $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:

$ N = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha - \sin 2\alpha = \sin 2\alpha(2\cos 2\alpha - 1) $

Преобразуем знаменатель, используя формулу суммы косинусов:

$ D = \cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos 3\alpha\cos\alpha $

Этот путь не упрощает. Попробуем иначе, применив $ \cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1 $:

$ D = \cos 2\alpha + 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2\cos^2 2\alpha + \cos 2\alpha - 1 $

Разложим на множители как квадратный трехчлен относительно $ \cos 2\alpha $:

$ D = (2\cos 2\alpha - 1)(\cos 2\alpha + 1) $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{N}{D} = \frac{\sin 2\alpha(2\cos 2\alpha - 1)}{(2\cos 2\alpha - 1)(\cos 2\alpha + 1)} = \frac{\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha} $

Используя формулы двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $ и $ 1+\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha $:

$ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \mathrm{tg}\,\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 - 1 + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha + \cos 4\alpha} = \mathrm{tg}\,\alpha $

9) Докажем тождество $ \left(\frac{\sin\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos 2\alpha}\right) \cdot \frac{\cos\alpha - \cos 7\alpha}{\sin\alpha} = -4\sin 3\alpha $.

Преобразуем выражение в скобках, приведя к общему знаменателю:

$ \frac{\sin\alpha\cos 2\alpha - \cos\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\sin(\alpha-2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{\sin(-\alpha)}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{-2\sin\alpha}{\sin 4\alpha} $

Преобразуем второй множитель, используя формулу разности косинусов:

$ \frac{\cos\alpha - \cos 7\alpha}{\sin\alpha} = \frac{-2\sin\frac{\alpha+7\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-7\alpha}{2}}{\sin\alpha} = \frac{-2\sin 4\alpha\sin(-3\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{2\sin 4\alpha\sin 3\alpha}{\sin\alpha} $

Перемножим полученные выражения:

$ \left(\frac{-2\sin\alpha}{\sin 4\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin 4\alpha\sin 3\alpha}{\sin\alpha}\right) = -2 \cdot 2 \cdot \frac{\sin\alpha \cdot \sin 4\alpha \cdot \sin 3\alpha}{\sin 4\alpha \cdot \sin\alpha} = -4\sin 3\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \left(\frac{\sin\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos 2\alpha}\right) \cdot \frac{\cos\alpha - \cos 7\alpha}{\sin\alpha} = -4\sin 3\alpha $

10) Докажем тождество $ \frac{(\cos\alpha - \cos 3\alpha)(\sin\alpha + \sin 3\alpha)}{1 - \cos 4\alpha} = \sin 2\alpha $.

Преобразуем множители в числителе, используя формулы преобразования суммы и разности в произведение:

$ \cos\alpha - \cos 3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin 2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin 2\alpha\sin\alpha $

$ \sin\alpha + \sin 3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha\cos(-\alpha) = 2\sin 2\alpha\cos\alpha $

Числитель равен:

$ N = (2\sin 2\alpha\sin\alpha) \cdot (2\sin 2\alpha\cos\alpha) = 4\sin^2 2\alpha (\sin\alpha\cos\alpha) $

Используя $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $, получаем:

$ N = 4\sin^2 2\alpha \cdot \frac{1}{2}\sin 2\alpha = 2\sin^3 2\alpha $

Преобразуем знаменатель, используя формулу $ 1 - \cos 2x = 2\sin^2 x $:

$ D = 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha) $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{N}{D} = \frac{2\sin^3 2\alpha}{2\sin^2 2\alpha} = \sin 2\alpha $

Тождество доказано.

Ответ: $ \frac{(\cos\alpha - \cos 3\alpha)(\sin\alpha + \sin 3\alpha)}{1 - \cos 4\alpha} = \sin 2\alpha $

24.10. Докажите тождество:

1) $\sin 5\alpha + \sin 6\alpha + \sin 7\alpha + \sin 8\alpha = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{13\alpha}{2};$

2) $\sin \alpha + \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \cos \frac{3\alpha}{2};$

3) $\sin \alpha + \sin \beta + \sin (\alpha - \beta) = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2};$

4) $\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)\sin (\alpha - \beta);$

5) $\frac{\cos \alpha - \cos 2\alpha - \cos 4\alpha + \cos 5\alpha}{\sin \alpha - \sin 2\alpha - \sin 4\alpha + \sin 5\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha;$

6) $(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2};$

7) $\frac{\sin 2\alpha \cos 4\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha)} = \frac{1}{2};$

8) $\left(\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos \alpha}\right)\left(\frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin \alpha}\right) = 4 \operatorname{ctg} \alpha.$

1)

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества. Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = (\sin 5\alpha + \sin 8\alpha) + (\sin 6\alpha + \sin 7\alpha) = $

$ = \left(2\sin\frac{5\alpha+8\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-5\alpha}{2}\right) + \left(2\sin\frac{6\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-6\alpha}{2}\right) = $

$ = 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha}{2} + 2\sin\frac{13\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2\sin\frac{13\alpha}{2} $ за скобки:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{13\alpha}{2}\left(\cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \cos\frac{3\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{2\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2} $.

Подставим результат в выражение для левой части:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{13\alpha}{2} \cdot \left(2\cos\alpha\cos\frac{\alpha}{2}\right) = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\sin\frac{13\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества, сгруппировав слагаемые: $ (\sin 3\alpha + \sin \alpha) - \sin 2\alpha $.

Применим формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha + \sin \alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos\alpha $.

Подставим в ЛЧ: $ \text{ЛЧ} = 2\sin 2\alpha \cos\alpha - \sin 2\alpha = \sin 2\alpha (2\cos\alpha - 1) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x\cos x $ и формулу косинуса двойного угла в виде $ \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \Rightarrow 2\cos x - 1 = 2(2\cos^2\frac{x}{2}-1)-1 = 4\cos^2\frac{x}{2} - 3 $, что усложняет.Попробуем другую группировку: $ (\sin \alpha - \sin 2\alpha) + \sin 3\alpha $.Лучше сгруппируем так: $ (\sin 3\alpha - \sin 2\alpha) + \sin \alpha $.Применим формулу разности синусов $ \sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $:

$ \sin 3\alpha - \sin 2\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+2\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} $.

Тогда $ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha $. Используем $ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{5\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Применим формулу суммы косинусов:

$ \cos\frac{5\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{5\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2}\cos\frac{\frac{5\alpha}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2} = 2\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha $.

Окончательно для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\left(2\cos\frac{3\alpha}{2}\cos\alpha\right) = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\alpha\cos\frac{3\alpha}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть (ЛЧ): $ (\sin\alpha + \sin\beta) + \sin(\alpha-\beta) $.

Используем формулу суммы синусов для первых двух слагаемых $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

А для третьего слагаемого используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $: $ \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ \text{ЛЧ} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Вынесем общий множитель $ 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha+\beta}{2} + \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

К выражению в скобках применим формулу суммы синусов:

$ \sin\frac{\alpha+\beta}{2} + \sin\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2}}{2} = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} $.

Подставим результат в выражение для ЛЧ:

$ \text{ЛЧ} = 2\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \cdot \left(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\right) = 4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем правую часть (ПЧ) тождества, используя формулу произведения синусов $ \sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y)) $.

$ \text{ПЧ} = \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)) - \cos((\alpha+\beta)+(\alpha-\beta))) = $

$ = \frac{1}{2}(\cos(2\beta) - \cos(2\alpha)) $.

Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1-2\sin^2 x $:

$ \text{ПЧ} = \frac{1}{2}((1-2\sin^2\beta) - (1-2\sin^2\alpha)) = \frac{1}{2}(1-2\sin^2\beta - 1+2\sin^2\alpha) = $

$ = \frac{1}{2}(2\sin^2\alpha - 2\sin^2\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta $.

Правая часть равна левой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5)

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части (ЛЧ).

Числитель: $ (\cos\alpha + \cos 5\alpha) - (\cos 2\alpha + \cos 4\alpha) $.

Используя $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $, получаем:

$ \cos 5\alpha + \cos\alpha = 2\cos 3\alpha\cos 2\alpha $.

$ \cos 4\alpha + \cos 2\alpha = 2\cos 3\alpha\cos\alpha $.

Числитель $ = 2\cos 3\alpha\cos 2\alpha - 2\cos 3\alpha\cos\alpha = 2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Знаменатель: $ (\sin\alpha + \sin 5\alpha) - (\sin 2\alpha + \sin 4\alpha) $.

Используя $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $, получаем:

$ \sin 5\alpha + \sin\alpha = 2\sin 3\alpha\cos 2\alpha $.

$ \sin 4\alpha + \sin 2\alpha = 2\sin 3\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель $ = 2\sin 3\alpha\cos 2\alpha - 2\sin 3\alpha\cos\alpha = 2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha) $.

Теперь составим дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2\cos 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha)}{2\sin 3\alpha(\cos 2\alpha - \cos\alpha)} $.

При условии $ \cos 2\alpha - \cos\alpha \neq 0 $, сокращаем дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = \operatorname{ctg} 3\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6)

Раскроем квадраты в левой части (ЛЧ):

$ \text{ЛЧ} = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) + (\cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) $.

Сгруппируем слагаемые:

$ \text{ЛЧ} = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу косинуса разности $ \cos(x-y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y $:

$ \text{ЛЧ} = 1 + 1 + 2\cos(\alpha-\beta) = 2 + 2\cos(\alpha-\beta) = 2(1 + \cos(\alpha-\beta)) $.

Применим формулу понижения степени $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $, где $ 2x = \alpha-\beta $:

$ \text{ЛЧ} = 2 \cdot (2\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}) = 4\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7)

Преобразуем левую часть (ЛЧ). Сначала упростим знаменатель.

Знаменатель: $ (\sin 3\alpha + \sin\alpha)(\cos 3\alpha + \cos 5\alpha) $.

Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$ \sin 3\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha\cos\alpha $.

$ \cos 5\alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos 4\alpha\cos\alpha $.

Знаменатель $ = (2\sin 2\alpha\cos\alpha)(2\cos 4\alpha\cos\alpha) = 4\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha $.

Теперь упростим числитель, используя формулу $ 1+\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha $:

Числитель $ = \sin 2\alpha \cos 4\alpha (1+\cos 2\alpha) = \sin 2\alpha \cos 4\alpha (2\cos^2\alpha) $.

Составим дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha}{4\sin 2\alpha \cos 4\alpha \cos^2\alpha} $.

При условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0, \cos 4\alpha \neq 0, \cos\alpha \neq 0 $, сокращаем дробь:

$ \text{ЛЧ} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8)

Преобразуем левую часть (ЛЧ), упростив каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $ \frac{\sin 4\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 4\alpha\cos\alpha - \cos 4\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} $.

В числителе формула синуса разности: $ \sin(4\alpha-\alpha) = \sin 3\alpha $.

В знаменателе формула синуса двойного угла: $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.

Первая скобка $ = \frac{\sin 3\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha} $.

Вторая скобка: $ \frac{1}{\sin 3\alpha} + \frac{1}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\sin 3\alpha \sin\alpha} $.

В числителе формула суммы синусов: $ \sin 3\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha\cos\alpha $.

Вторая скобка $ = \frac{2\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 3\alpha\sin\alpha} $.

Перемножим упрощенные выражения:

$ \text{ЛЧ} = \left(\frac{2\sin 3\alpha}{\sin 2\alpha}\right) \cdot \left(\frac{2\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 3\alpha\sin\alpha}\right) = \frac{4\sin 3\alpha\sin 2\alpha\cos\alpha}{\sin 2\alpha\sin 3\alpha\sin\alpha} $.

При условии, что $ \sin 2\alpha \neq 0, \sin 3\alpha \neq 0, \sin\alpha \neq 0 $, сокращаем общие множители:

$ \text{ЛЧ} = \frac{4\cos\alpha}{\sin\alpha} = 4\operatorname{ctg}\alpha $.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.