Страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.1. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos15^\circ \cos5^\circ $

2) $ 2\cos3\alpha \cos2\alpha $

3) $ 2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40} $

4) $ \sin48^\circ \sin74^\circ $

5) $ 2\sin\alpha\sin2\alpha $

6) $ \sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha) $

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность):

• $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$
• $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$
• $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

1) $\cos15^\circ \cos5^\circ$

Применяем формулу для произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Подставляем $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 5^\circ$:
$\cos15^\circ \cos5^\circ = \frac{1}{2}(\cos(15^\circ - 5^\circ) + \cos(15^\circ + 5^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ)$.

2) $2\cos3\alpha \cos2\alpha$

Из формулы произведения косинусов следует, что $2\cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
Подставляем $\alpha = 3\alpha$ и $\beta = 2\alpha$:
$2\cos3\alpha \cos2\alpha = \cos(3\alpha - 2\alpha) + \cos(3\alpha + 2\alpha) = \cos\alpha + \cos5\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha + \cos5\alpha$.

3) $2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40}$

Из формулы произведения синуса на косинус следует, что $2\sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{40}$:
$2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40} = \sin(\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{40}) + \sin(\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{40})$.
$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{40} = \frac{4\pi}{40} + \frac{\pi}{40} = \frac{5\pi}{40} = \frac{\pi}{8}$.
$\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{40} = \frac{4\pi}{40} - \frac{\pi}{40} = \frac{3\pi}{40}$.
Таким образом, получаем: $\sin\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{40}$.

Ответ: $\sin\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{40}$.

4) $\sin48^\circ \sin74^\circ$

Применяем формулу для произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
Подставляем $\alpha = 48^\circ$ и $\beta = 74^\circ$:
$\sin48^\circ \sin74^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ - 74^\circ) - \cos(48^\circ + 74^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-26^\circ) - \cos(122^\circ))$.
Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(-26^\circ) = \cos(26^\circ)$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos26^\circ - \cos122^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos26^\circ - \cos122^\circ)$.

5) $2\sin\alpha \sin2\alpha$

Из формулы произведения синусов следует, что $2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
Подставляем $\alpha = \alpha$ и $\beta = 2\alpha$:
$2\sin\alpha \sin2\alpha = \cos(\alpha - 2\alpha) - \cos(\alpha + 2\alpha) = \cos(-\alpha) - \cos(3\alpha)$.
Используя четность косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$:
$\cos\alpha - \cos3\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha - \cos3\alpha$.

6) $\sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha)$

Применяем формулу для произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$.
Подставляем $x = 60^\circ + \alpha$ и $y = 60^\circ - \alpha$:
$x - y = (60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha) = 2\alpha$.
$x + y = (60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha) = 120^\circ$.
$\sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(120^\circ))$.
Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4}$.

25.2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5};$

2) $\sin 28^\circ \cos 24^\circ;$

3) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha;$

4) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right).$

1) Для преобразования произведения $2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5}$ в сумму используется формула произведения косинусов:

$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

В данном случае, чтобы избежать отрицательных углов, удобно взять $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$. Тогда:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{8} = \frac{8\pi + 5\pi}{40} = \frac{13\pi}{40}$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{8} = \frac{8\pi - 5\pi}{40} = \frac{3\pi}{40}$

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{8} = \cos(\frac{13\pi}{40}) + \cos(\frac{3\pi}{40})$

Ответ: $\cos\frac{13\pi}{40} + \cos\frac{3\pi}{40}$.

2) Для преобразования произведения $\sin28^\circ\cos24^\circ$ в сумму используется формула произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 28^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

$\alpha + \beta = 28^\circ + 24^\circ = 52^\circ$

$\alpha - \beta = 28^\circ - 24^\circ = 4^\circ$

Подставляем в формулу:

$\sin28^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{2}(\sin52^\circ + \sin4^\circ)$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin52^\circ + \sin4^\circ)$.

3) Для преобразования произведения $\sin5\alpha\sin3\alpha$ в сумму используется формула произведения синусов:

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$

В этом примере $A = 5\alpha$ и $B = 3\alpha$.

$A - B = 5\alpha - 3\alpha = 2\alpha$

$A + B = 5\alpha + 3\alpha = 8\alpha$

Подставляем в формулу:

$\sin5\alpha\sin3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(8\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos8\alpha)$.

4) Преобразуем произведение $\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)$, используя ту же формулу произведения синусов:

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$

Здесь $A = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{6} - \alpha$.

Найдем разность и сумму аргументов:

$A - B = (\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha = 2\alpha$

$A + B = (\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставим эти выражения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{3}))$

Так как значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{4}$.

25.3. Упростите выражение:

1) $2 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} - \cos 20^{\circ}$;

2) $\sin \alpha(1 + 2 \cos 2\alpha)$;

3) $2 \cos \alpha \cos 2\alpha - \cos 3\alpha$;

4) $\cos 2\alpha + 2 \sin (\alpha + 30^{\circ}) \sin (\alpha - 30^{\circ})$.

1) Упростим выражение $2\cos20^\circ\cos40^\circ - \cos20^\circ$.

Для преобразования произведения косинусов в сумму воспользуемся формулой $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$.

В нашем случае $A=40^\circ$ и $B=20^\circ$. Применим формулу к первому слагаемому $2\cos20^\circ\cos40^\circ$:

$2\cos40^\circ\cos20^\circ = \cos(40^\circ - 20^\circ) + \cos(40^\circ + 20^\circ) = \cos20^\circ + \cos60^\circ$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\cos20^\circ + \cos60^\circ) - \cos20^\circ = \cos20^\circ - \cos20^\circ + \cos60^\circ = \cos60^\circ$.

Мы знаем, что значение $\cos60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Упростим выражение $\sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha)$.

Сначала раскроем скобки:

$\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos2\alpha$.

Теперь используем формулу преобразования произведения в сумму $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Здесь $A=\alpha$ и $B=2\alpha$. Применим формулу к слагаемому $2\sin\alpha\cos2\alpha$:

$2\sin\alpha\cos2\alpha = \sin(\alpha+2\alpha) + \sin(\alpha-2\alpha) = \sin(3\alpha) + \sin(-\alpha)$.

Поскольку синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно, $2\sin\alpha\cos2\alpha = \sin(3\alpha) - \sin\alpha$.

Подставим полученное выражение обратно:

$\sin\alpha + (\sin(3\alpha) - \sin\alpha) = \sin\alpha + \sin(3\alpha) - \sin\alpha = \sin(3\alpha)$.

Ответ: $\sin(3\alpha)$

3) Упростим выражение $2\cos\alpha\cos2\alpha - \cos3\alpha$.

Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2\cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$ для члена $2\cos\alpha\cos2\alpha$.

Пусть $A=2\alpha$ и $B=\alpha$.

$2\cos2\alpha\cos\alpha = \cos(2\alpha-\alpha) + \cos(2\alpha+\alpha) = \cos\alpha + \cos(3\alpha)$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\cos\alpha + \cos3\alpha) - \cos3\alpha = \cos\alpha + \cos3\alpha - \cos3\alpha = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$

4) Упростим выражение $\cos2\alpha + 2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ)$.

Для преобразования произведения синусов используем формулу $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.

В нашем случае $A = \alpha + 30^\circ$ и $B = \alpha - 30^\circ$.

Найдем разность и сумму углов $A$ и $B$:

$A-B = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ$.

$A+B = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha$.

Применив формулу, получаем:

$2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\cos2\alpha + (\cos60^\circ - \cos2\alpha) = \cos2\alpha + \cos60^\circ - \cos2\alpha = \cos60^\circ$.

Табличное значение $\cos60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

25.4. Упростите выражение:

1) $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$;

2) $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$.

1) Для упрощения выражения $2\sin2\alpha\sin\alpha + \cos3\alpha$ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов: $2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$.

В нашем случае $A = 2\alpha$ и $B = \alpha$. Применим формулу к первому слагаемому исходного выражения:

$2\sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) - \cos(2\alpha + \alpha) = \cos\alpha - \cos3\alpha$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$(\cos\alpha - \cos3\alpha) + \cos3\alpha$.

Слагаемые $-\cos3\alpha$ и $+\cos3\alpha$ взаимно уничтожаются, в результате чего остается:

$\cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

2) Для упрощения выражения $\sin\alpha - 2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)$ используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin A \cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B)$.

В нашем случае $A = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}$ и $B = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}$. Применим формулу к вычитаемому:

$2\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \sin\left(\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right)\right)$.

Упростим аргументы синусов:

Сумма аргументов: $\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) + \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Разность аргументов: $\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{12}\right) - \left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6}$.

Таким образом, произведение равно:

$\sin\alpha + \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Поскольку синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin\alpha - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha - \frac{1}{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sin\alpha - \left(\sin\alpha - \frac{1}{2}\right) = \sin\alpha - \sin\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

25.5. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \sin 7\alpha \sin 5\alpha;$

2) $\sin \left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) - \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \sin 4\alpha \cos \alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

$\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha) - \cos(\alpha+3\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(4\alpha-8\alpha) - \cos(4\alpha+8\alpha))$

Учитывая, что косинус является четной функцией, то есть $\cos(-z) = \cos(z)$, получим:

$= \frac{1}{2}(\cos(-2\alpha) - \cos(4\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(-4\alpha) - \cos(12\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= \frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{2}\cos(4\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) - \frac{1}{2}\cos(12\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(12\alpha))$

Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$= \frac{1}{2} \left(-2\sin\frac{2\alpha+12\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-12\alpha}{2}\right) = -\sin\frac{14\alpha}{2}\sin\frac{-10\alpha}{2} = -\sin(7\alpha)\sin(-5\alpha)$

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin(z)$, окончательно получаем:

$= -\sin(7\alpha)(-\sin(5\alpha)) = \sin(7\alpha)\sin(5\alpha)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \sin 7\alpha \sin 5\alpha$ доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Будем преобразовывать каждое слагаемое по отдельности.

Для первого слагаемого применим формулу произведения синуса на косинус $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)+\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)-\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right)\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 7\alpha\right) + \sin(3\alpha)\right)$

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + z) = \cos(z)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) + \sin(3\alpha))$

Для второго слагаемого применим формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)-\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)+\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right)\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\cos(7\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right)\right)$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - z) = \sin(z)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) - \sin(5\alpha))$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{1}{2}(\cos(7\alpha) + \sin(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) - \sin(5\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(7\alpha) + \frac{1}{2}\sin(3\alpha) - \frac{1}{2}\cos(7\alpha) + \frac{1}{2}\sin(5\alpha)$

После упрощения получаем:

$= \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) + \sin(5\alpha))$

Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$= \frac{1}{2}\left(2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = \sin\frac{8\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = \sin(4\alpha)\cos(\alpha)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \sin 4\alpha \cos \alpha$ доказано.

25.6. Докажите тождество:

1) $ \cos 3\alpha \cos 6\alpha - \cos 4\alpha \cos 7\alpha = \sin 10\alpha \sin \alpha; $

2) $ 2\cos \frac{\alpha}{2} \sin \left( \frac{\alpha}{4} + 15^\circ \right) \cos \left( \frac{\alpha}{4} - 15^\circ \right) = \sin \left( 45^\circ + \frac{\alpha}{4} \right) \cos \left( 45^\circ - \frac{3\alpha}{4} \right). $

1) Докажем тождество $ \cos(3\alpha)\cos(6\alpha) - \cos(4\alpha)\cos(7\alpha) = \sin(10\alpha)\sin(\alpha) $, преобразовав его левую часть.

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму воспользуемся формулой: $ \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) + \cos(x+y)) $.

Применим эту формулу к каждому произведению в левой части равенства:

$ \cos(3\alpha)\cos(6\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(6\alpha-3\alpha) + \cos(6\alpha+3\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(9\alpha)) $.

$ \cos(4\alpha)\cos(7\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(7\alpha-4\alpha) + \cos(7\alpha+4\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(11\alpha)) $.

Подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества и упростим:

$ \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(9\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos(3\alpha) + \cos(11\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(3\alpha) + \frac{1}{2}\cos(9\alpha) - \frac{1}{2}\cos(3\alpha) - \frac{1}{2}\cos(11\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(9\alpha) - \cos(11\alpha)) $.

Теперь воспользуемся формулой преобразования разности косинусов в произведение: $ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $.

$ \frac{1}{2}(\cos(9\alpha) - \cos(11\alpha)) = \frac{1}{2}\left(-2\sin\frac{9\alpha+11\alpha}{2}\sin\frac{9\alpha-11\alpha}{2}\right) = -\sin\frac{20\alpha}{2}\sin\frac{-2\alpha}{2} = -\sin(10\alpha)\sin(-\alpha) $.

Учитывая, что синус является нечетной функцией, то есть $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:

$ -\sin(10\alpha)(-\sin\alpha) = \sin(10\alpha)\sin\alpha $.

Мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) = \sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right) $, преобразовав поочередно его левую и правую части.

Преобразуем левую часть: $ 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) $.

Сначала используем формулу произведения синуса на косинус $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $:

$ \sin\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right) = \frac{1}{2}\left[\sin\left(\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)+\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\alpha}{4}+15^\circ\right)-\left(\frac{\alpha}{4}-15^\circ\right)\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \sin(30^\circ)\right) $.

Так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, выражение упрощается до $ \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) $.

Подставим результат в левую часть исходного равенства:

$ 2\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) = \cos\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\right) = \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} + \frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2} $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, из которой следует, что $ \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $. Тогда $ \sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\sin\alpha $.

Окончательно для левой части получаем: $ \frac{1}{2}\sin\alpha + \frac{1}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}\right) $.

Теперь преобразуем правую часть: $ \sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right) $.

Вновь используем формулу $ \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y)) $:

$ \frac{1}{2}\left[\sin\left(\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)+\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right)\right) + \sin\left(\left(45^\circ+\frac{\alpha}{4}\right)-\left(45^\circ-\frac{3\alpha}{4}\right)\right)\right] = \frac{1}{2}\left(\sin\left(90^\circ - \frac{2\alpha}{4}\right) + \sin\frac{4\alpha}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\alpha\right) $.

Используя формулу приведения $ \sin(90^\circ - z) = \cos z $, получаем:

$ \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha\right) $.

Сравнивая преобразованные левую и правую части, видим, что они равны: $ \frac{1}{2}\left(\sin\alpha + \cos\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\alpha\right) $. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

25.7. Упростите выражение:

1) $ \sin^2 \alpha + \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right); $

2) $ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta); $

3) $ \cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha). $

1) Исходное выражение: $\sin^2 \alpha + \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

Для упрощения произведения косинусов воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Перемножим эти два выражения, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = (\frac{1}{2}\cos\alpha)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 - \frac{3}{4})\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{1}{4}(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Исходное выражение: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$.

Рассмотрим произведение $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$. Применим формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Их произведение является разностью квадратов:

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Подставим это в исходное выражение:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем первый и третий члены, вынеся за скобки $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha(1 - \cos^2\beta) + \cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$, получим:

$\cos^2\alpha\sin^2\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Теперь сгруппируем члены, содержащие $\sin^2\beta$:

$\sin^2\beta(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\beta$.

Поскольку $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\sin^2\beta \cdot 1 + \cos^2\beta = \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Ответ: $1$.

3) Исходное выражение: $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Преобразуем разность квадратов косинусов, используя формулу $\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$.

Пусть $A = 45^\circ + \alpha$ и $B = 30^\circ - \alpha$. Тогда:

$A+B = (45^\circ + \alpha) + (30^\circ - \alpha) = 75^\circ$.

$A-B = (45^\circ + \alpha) - (30^\circ - \alpha) = 15^\circ + 2\alpha$.

Следовательно, первая часть выражения равна:

$\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) = -\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2\alpha)$.

Теперь все выражение имеет вид:

$-\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2\alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить функции от $15^\circ$ и $75^\circ$ друг через друга:

$\sin 15^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \cos 75^\circ$.

Также преобразуем аргумент второго синуса:

$\sin(15^\circ + 2\alpha) = \sin(90^\circ - (75^\circ - 2\alpha)) = \cos(75^\circ - 2\alpha)$.

Подставим эти преобразования в выражение:

$-\sin(75^\circ)\cos(75^\circ - 2\alpha) + \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Переставим слагаемые для наглядности:

$\sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ - \cos(75^\circ - 2\alpha)\sin 75^\circ$.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $\sin(X-Y) = \sin X \cos Y - \cos X \sin Y$, где $X = 75^\circ - 2\alpha$ и $Y = 75^\circ$.

Таким образом, все выражение равно:

$\sin((75^\circ - 2\alpha) - 75^\circ) = \sin(-2\alpha)$.

Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

Ответ: $-\sin(2\alpha)$.

25.8. Упростите выражение:

1) $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$;

2) $\cos^2(45^\circ - \alpha) - \cos^2(60^\circ + \alpha) - \sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ$.

1) $sin^2 α + sin^2 β + cos(α + β)cos(α - β)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой произведения косинусов, которая является следствием формул косинуса суммы и разности: $cos(x+y)cos(x-y) = cos^2x - sin^2y$.

Применим эту формулу к члену $cos(α + β)cos(α - β)$, получим:

$cos(α + β)cos(α - β) = cos^2α - sin^2β$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$sin^2α + sin^2β + (cos^2α - sin^2β)$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$(sin^2α + cos^2α) + (sin^2β - sin^2β)$

Выражение в первых скобках является основным тригонометрическим тождеством и равно 1. Выражение во вторых скобках равно 0.

$1 + 0 = 1$

Ответ: $1$

2) $cos^2(45° - α) - cos^2(60° + α) - sin(75° - 2α)cos(75°)$

Сначала преобразуем разность квадратов косинусов, используя формулу $cos^2 A - cos^2 B = sin(A+B)sin(B-A)$.

Пусть $A = 45° - α$ и $B = 60° + α$. Найдем сумму и разность этих углов:

$A+B = (45° - α) + (60° + α) = 105°$

$B-A = (60° + α) - (45° - α) = 60° + α - 45° + α = 15° + 2α$

Таким образом, первая часть выражения равна:

$cos^2(45° - α) - cos^2(60° + α) = sin(105°)sin(15° + 2α)$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$sin(105°)sin(15° + 2α) - sin(75° - 2α)cos(75°)$

Теперь воспользуемся формулами приведения.

1. Для $sin(105°)$: $sin(105°) = sin(180° - 75°) = sin(75°)$. Также можно использовать $sin(105°) = sin(90° + 15°) = cos(15°)$.

2. Для $cos(75°)$: $cos(75°) = cos(90° - 15°) = sin(15°)$.

3. Для $sin(75° - 2α)$: $sin(75° - 2α) = sin(90° - (15° + 2α)) = cos(15° + 2α)$.

Подставим преобразования (1) в виде $cos(15°)$ и (2) в виде $sin(15°)$ в наше выражение:

$cos(15°)sin(15° + 2α) - sin(75° - 2α)sin(15°)$

Теперь подставим преобразование (3):

$cos(15°)sin(15° + 2α) - cos(15° + 2α)sin(15°)$

Полученное выражение является развернутой формулой синуса разности: $sin(X-Y) = sinXcosY - cosXsinY$.

Пусть $X = 15° + 2α$ и $Y = 15°$. Тогда наше выражение сворачивается в:

$sin((15° + 2α) - 15°) = sin(2α)$

Ответ: $sin(2α)$

25.9. Докажите, что:

1) $16\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 3$;

2) $8\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 1$.

1) Докажем тождество $16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 3$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ). Подставим известное значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$ЛЧ = 16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ = 16 \sin 20^\circ \sin 40^\circ \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin 80^\circ = 8\sqrt{3} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ$.

Воспользуемся тождеством для произведения синусов: $\sin \alpha \cdot \sin(60^\circ - \alpha) \cdot \sin(60^\circ + \alpha) = \frac{1}{4} \sin(3\alpha)$.

В нашем случае, при $\alpha = 20^\circ$, имеем $60^\circ - \alpha = 40^\circ$ и $60^\circ + \alpha = 80^\circ$. Применяя тождество, получаем:

$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \cdot 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Теперь подставим этот результат обратно в преобразованное выражение для левой части:

$ЛЧ = 8\sqrt{3} \cdot (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{8} = 3$.

Левая часть равна 3, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

2) Докажем тождество $8 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 1$.

Рассмотрим левую часть равенства (ЛЧ). Воспользуемся формулой приведения $\sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$ для каждого множителя:

$\sin 10^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \cos 80^\circ$
$\sin 50^\circ = \cos(90^\circ - 50^\circ) = \cos 40^\circ$
$\sin 70^\circ = \cos(90^\circ - 70^\circ) = \cos 20^\circ$

Подставим эти выражения в левую часть и переставим множители в порядке возрастания углов:

$ЛЧ = 8 \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ = 8 \cos 80^\circ \cos 40^\circ \cos 20^\circ = 8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$.

Для упрощения этого произведения умножим и разделим его на $2 \sin 20^\circ$ и затем последовательно применим формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:

$ЛЧ = \frac{8 \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \cdot (2 \sin 20^\circ)}{2 \sin 20^\circ} = \frac{4 \cdot (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cdot \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Продолжаем упрощение, снова применяя формулу двойного угла:

$\frac{2 \cdot (2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 80^\circ)}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.

Подставляя это в наше выражение, получаем конечный результат:

$\frac{\sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 1$.

Левая часть равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Доказано.

25.10. Докажите тождество $4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(60^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin\frac{3\alpha}{2}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как Л.

Л = $4 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right)$

Сгруппируем множители и представим $4$ как $2 \cdot 2$:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \left[ 2 \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \right]$

Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

Применим эту формулу к выражению в квадратных скобках, где $A = 60^\circ - \frac{\alpha}{2}$ и $B = 30^\circ - \frac{\alpha}{2}$:

$A+B = \left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) + \left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 90^\circ - \alpha$

$A-B = \left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = 30^\circ$

Таким образом, выражение в скобках становится:

$2 \sin\left(60^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(30^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \sin(90^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ)$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ и значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin(90^\circ - \alpha) + \sin(30^\circ) = \cos \alpha + \frac{1}{2}$

Подставим это обратно в выражение для Л:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \left( \cos \alpha + \frac{1}{2} \right)$

Раскроем скобки:

Л = $2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos \alpha + 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}$

Снова применим формулу преобразования произведения в сумму, на этот раз $2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ к члену $2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2}$.

Здесь $A = \alpha$ и $B = \frac{\alpha}{2}$:

$A+B = \alpha + \frac{\alpha}{2} = \frac{3\alpha}{2}$

$A-B = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Следовательно, $2 \cos \alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Подставим это в последнее выражение для Л:

Л = $\left( \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2} \right) + \sin\frac{\alpha}{2}$

Упрощая, получаем:

Л = $\sin\frac{3\alpha}{2}$

Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.