Номер 25.7, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.7. Упростите выражение:

1) $ \sin^2 \alpha + \cos \left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right); $

2) $ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta); $

3) $ \cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha). $

1) Исходное выражение: $\sin^2 \alpha + \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$.

Для упрощения произведения косинусов воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

$\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$.

Перемножим эти два выражения, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\cos(\frac{\pi}{3} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha) = (\frac{1}{2}\cos\alpha)^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sin^2 \alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(1 - \frac{3}{4})\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\frac{1}{4}(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) Исходное выражение: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$.

Рассмотрим произведение $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$. Применим формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Их произведение является разностью квадратов:

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Подставим это в исходное выражение:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем первый и третий члены, вынеся за скобки $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha(1 - \cos^2\beta) + \cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2\beta = \sin^2\beta$, получим:

$\cos^2\alpha\sin^2\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Теперь сгруппируем члены, содержащие $\sin^2\beta$:

$\sin^2\beta(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \cos^2\beta$.

Поскольку $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, выражение упрощается до:

$\sin^2\beta \cdot 1 + \cos^2\beta = \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Ответ: $1$.

3) Исходное выражение: $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Преобразуем разность квадратов косинусов, используя формулу $\cos^2 A - \cos^2 B = -\sin(A+B)\sin(A-B)$.

Пусть $A = 45^\circ + \alpha$ и $B = 30^\circ - \alpha$. Тогда:

$A+B = (45^\circ + \alpha) + (30^\circ - \alpha) = 75^\circ$.

$A-B = (45^\circ + \alpha) - (30^\circ - \alpha) = 15^\circ + 2\alpha$.

Следовательно, первая часть выражения равна:

$\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) = -\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2\alpha)$.

Теперь все выражение имеет вид:

$-\sin(75^\circ)\sin(15^\circ + 2\alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Воспользуемся формулами приведения, чтобы выразить функции от $15^\circ$ и $75^\circ$ друг через друга:

$\sin 15^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \cos 75^\circ$.

Также преобразуем аргумент второго синуса:

$\sin(15^\circ + 2\alpha) = \sin(90^\circ - (75^\circ - 2\alpha)) = \cos(75^\circ - 2\alpha)$.

Подставим эти преобразования в выражение:

$-\sin(75^\circ)\cos(75^\circ - 2\alpha) + \cos 75^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Переставим слагаемые для наглядности:

$\sin(75^\circ - 2\alpha)\cos 75^\circ - \cos(75^\circ - 2\alpha)\sin 75^\circ$.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $\sin(X-Y) = \sin X \cos Y - \cos X \sin Y$, где $X = 75^\circ - 2\alpha$ и $Y = 75^\circ$.

Таким образом, все выражение равно:

$\sin((75^\circ - 2\alpha) - 75^\circ) = \sin(-2\alpha)$.

Поскольку синус — нечетная функция, $\sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha)$.

Ответ: $-\sin(2\alpha)$.