Номер 25.1, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.1. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $ \cos15^\circ \cos5^\circ $

2) $ 2\cos3\alpha \cos2\alpha $

3) $ 2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40} $

4) $ \sin48^\circ \sin74^\circ $

5) $ 2\sin\alpha\sin2\alpha $

6) $ \sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha) $

Для решения данных задач используются формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (или разность):

• $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$
• $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$
• $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

1) $\cos15^\circ \cos5^\circ$

Применяем формулу для произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Подставляем $\alpha = 15^\circ$ и $\beta = 5^\circ$:
$\cos15^\circ \cos5^\circ = \frac{1}{2}(\cos(15^\circ - 5^\circ) + \cos(15^\circ + 5^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos10^\circ + \cos20^\circ)$.

2) $2\cos3\alpha \cos2\alpha$

Из формулы произведения косинусов следует, что $2\cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
Подставляем $\alpha = 3\alpha$ и $\beta = 2\alpha$:
$2\cos3\alpha \cos2\alpha = \cos(3\alpha - 2\alpha) + \cos(3\alpha + 2\alpha) = \cos\alpha + \cos5\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha + \cos5\alpha$.

3) $2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40}$

Из формулы произведения синуса на косинус следует, что $2\sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Подставляем $\alpha = \frac{\pi}{10}$ и $\beta = \frac{\pi}{40}$:
$2\sin\frac{\pi}{10}\cos\frac{\pi}{40} = \sin(\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{40}) + \sin(\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{40})$.
$\frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{40} = \frac{4\pi}{40} + \frac{\pi}{40} = \frac{5\pi}{40} = \frac{\pi}{8}$.
$\frac{\pi}{10} - \frac{\pi}{40} = \frac{4\pi}{40} - \frac{\pi}{40} = \frac{3\pi}{40}$.
Таким образом, получаем: $\sin\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{40}$.

Ответ: $\sin\frac{\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{40}$.

4) $\sin48^\circ \sin74^\circ$

Применяем формулу для произведения синусов: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.
Подставляем $\alpha = 48^\circ$ и $\beta = 74^\circ$:
$\sin48^\circ \sin74^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ - 74^\circ) - \cos(48^\circ + 74^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-26^\circ) - \cos(122^\circ))$.
Так как $\cos(-x) = \cos(x)$, то $\cos(-26^\circ) = \cos(26^\circ)$.
Получаем: $\frac{1}{2}(\cos26^\circ - \cos122^\circ)$.

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos26^\circ - \cos122^\circ)$.

5) $2\sin\alpha \sin2\alpha$

Из формулы произведения синусов следует, что $2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.
Подставляем $\alpha = \alpha$ и $\beta = 2\alpha$:
$2\sin\alpha \sin2\alpha = \cos(\alpha - 2\alpha) - \cos(\alpha + 2\alpha) = \cos(-\alpha) - \cos(3\alpha)$.
Используя четность косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$:
$\cos\alpha - \cos3\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha - \cos3\alpha$.

6) $\sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha)$

Применяем формулу для произведения синусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$.
Подставляем $x = 60^\circ + \alpha$ и $y = 60^\circ - \alpha$:
$x - y = (60^\circ + \alpha) - (60^\circ - \alpha) = 2\alpha$.
$x + y = (60^\circ + \alpha) + (60^\circ - \alpha) = 120^\circ$.
$\sin(60^\circ + \alpha)\sin(60^\circ - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(120^\circ))$.
Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{2}\cos(2\alpha) + \frac{1}{4}$.