Номер 24.13, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.13. Решите уравнение:

1) $\sqrt{9 + 8x - x^2} = x - 3;$

2) $\sqrt{x^2 - x - 6} = \sqrt{-2x};$

3) $\sqrt{x + 6} \cdot \sqrt{5 - 2x} = 2 - 2x;$

4) $\frac{5}{\sqrt{3x - 2}} + \sqrt{3x - 2} = 3\sqrt{3x + 1}.$

1)Исходное уравнение: $\sqrt{9+8x-x^2} = x-3$.
Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} 9+8x-x^2 = (x-3)^2 \\ x-3 \geq 0 \end{cases} $
Сначала решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений для $x$:
$x-3 \geq 0 \implies x \geq 3$.
Теперь решим уравнение:
$9+8x-x^2 = x^2 - 6x + 9$
$2x^2 - 14x = 0$
$2x(x-7) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Проверим корни на соответствие условию $x \geq 3$:
$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \geq 3$, следовательно, это посторонний корень.
$x_2 = 7$ удовлетворяет условию $7 \geq 3$.
Проверим найденный корень подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{9+8(7)-7^2} = \sqrt{9+56-49} = \sqrt{16} = 4$.
$7-3 = 4$.
$4 = 4$. Корень найден верно.
Ответ: 7

2)Исходное уравнение: $\sqrt{x^2-x-6} = \sqrt{-2x}$.
Уравнение вида $\sqrt{A} = \sqrt{B}$ равносильно системе:
$ \begin{cases} A = B \\ A \geq 0 \text{ (или } B \geq 0 \text{)} \end{cases} $
В нашем случае система выглядит так:
$ \begin{cases} x^2-x-6 = -2x \\ -2x \geq 0 \end{cases} $
Решим неравенство:
$-2x \geq 0 \implies x \leq 0$.
Решим уравнение:
$x^2-x-6 = -2x$
$x^2+x-6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Проверим корни на соответствие условию $x \leq 0$:
$x_1 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \leq 0$.
$x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 \leq 0$, это посторонний корень.
Проверим корень $x=-3$ подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{(-3)^2 - (-3) - 6} = \sqrt{9+3-6} = \sqrt{6}$.
$\sqrt{-2(-3)} = \sqrt{6}$.
$\sqrt{6} = \sqrt{6}$. Корень найден верно.
Ответ: -3

3)Исходное уравнение: $\sqrt{x+6} \cdot \sqrt{5-2x} = 2-2x$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $x+6 \geq 0 \implies x \geq -6$.
2. $5-2x \geq 0 \implies 5 \geq 2x \implies x \leq 2.5$.
3. Правая часть должна быть неотрицательной, так как она равна произведению корней: $2-2x \geq 0 \implies 2 \geq 2x \implies x \leq 1$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in [-6, 1]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+6} \cdot \sqrt{5-2x})^2 = (2-2x)^2$
$(x+6)(5-2x) = 4 - 8x + 4x^2$
$5x - 2x^2 + 30 - 12x = 4 - 8x + 4x^2$
$-2x^2 - 7x + 30 = 4x^2 - 8x + 4$
$6x^2 - x - 26 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4(6)(-26) = 1 + 624 = 625 = 25^2$.
$x = \frac{1 \pm 25}{12}$.
$x_1 = \frac{1+25}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}$.
$x_2 = \frac{1-25}{12} = \frac{-24}{12} = -2$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [-6, 1]$:
$x_1 = \frac{13}{6} \approx 2.17$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $\frac{13}{6} > 1$.
$x_2 = -2$. Этот корень входит в ОДЗ.
Проверим корень $x=-2$ подстановкой:
$\sqrt{-2+6} \cdot \sqrt{5-2(-2)} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$.
$2 - 2(-2) = 2+4=6$.
$6=6$. Корень найден верно.
Ответ: -2

4)Исходное уравнение: $\frac{5}{\sqrt{3x-2}} + \sqrt{3x-2} = 3\sqrt{3x+1}$.
Найдем ОДЗ:
1. $3x-2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > 2/3$.
2. $3x+1 \geq 0 \implies 3x \geq -1 \implies x \geq -1/3$.
Итоговое ОДЗ: $x > 2/3$.
Сделаем замену. Пусть $a = \sqrt{3x-2}$. Так как $x > 2/3$, то $a>0$.
Тогда $a^2 = 3x-2 \implies 3x = a^2+2$.
Выразим второй корень через $a$: $3x+1 = (a^2+2)+1 = a^2+3$.
Подставим замену в уравнение:
$\frac{5}{a} + a = 3\sqrt{a^2+3}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{5+a^2}{a} = 3\sqrt{a^2+3}$
$5+a^2 = 3a\sqrt{a^2+3}$
Поскольку $a>0$, обе части уравнения положительны. Возведем их в квадрат:
$(5+a^2)^2 = (3a\sqrt{a^2+3})^2$
$25 + 10a^2 + a^4 = 9a^2(a^2+3)$
$25 + 10a^2 + a^4 = 9a^4 + 27a^2$
$8a^4 + 17a^2 - 25 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену $z=a^2$, где $z>0$.
$8z^2+17z-25=0$
$D = 17^2 - 4(8)(-25) = 289 + 800 = 1089 = 33^2$.
$z = \frac{-17 \pm 33}{16}$.
$z_1 = \frac{-17+33}{16} = \frac{16}{16} = 1$.
$z_2 = \frac{-17-33}{16} = -\frac{50}{16}$.
Так как $z=a^2>0$, корень $z_2$ не подходит. Остается $z=1$.
$a^2=1$. Так как $a>0$, то $a=1$.
Вернемся к исходной переменной: $\sqrt{3x-2} = 1$.
$3x-2 = 1$
$3x=3$
$x=1$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ $x > 2/3$: $1 > 2/3$. Удовлетворяет.
Проверка подстановкой $x=1$ в исходное уравнение:
$\frac{5}{\sqrt{3(1)-2}} + \sqrt{3(1)-2} = \frac{5}{\sqrt{1}} + \sqrt{1} = 5+1=6$.
$3\sqrt{3(1)+1} = 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$.
$6=6$. Корень найден верно.
Ответ: 1