Номер 25.5, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.5. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \sin 7\alpha \sin 5\alpha;$

2) $\sin \left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) - \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \sin 4\alpha \cos \alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

$\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-3\alpha) - \cos(\alpha+3\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(4\alpha-8\alpha) - \cos(4\alpha+8\alpha))$

Учитывая, что косинус является четной функцией, то есть $\cos(-z) = \cos(z)$, получим:

$= \frac{1}{2}(\cos(-2\alpha) - \cos(4\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(-4\alpha) - \cos(12\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(4\alpha) - \cos(12\alpha))$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= \frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{2}\cos(4\alpha) + \frac{1}{2}\cos(4\alpha) - \frac{1}{2}\cos(12\alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(12\alpha))$

Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$= \frac{1}{2} \left(-2\sin\frac{2\alpha+12\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha-12\alpha}{2}\right) = -\sin\frac{14\alpha}{2}\sin\frac{-10\alpha}{2} = -\sin(7\alpha)\sin(-5\alpha)$

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-z) = -\sin(z)$, окончательно получаем:

$= -\sin(7\alpha)(-\sin(5\alpha)) = \sin(7\alpha)\sin(5\alpha)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $\sin \alpha \sin 3\alpha + \sin 4\alpha \sin 8\alpha = \sin 7\alpha \sin 5\alpha$ доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Будем преобразовывать каждое слагаемое по отдельности.

Для первого слагаемого применим формулу произведения синуса на косинус $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x+y) + \sin(x-y))$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)+\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right)\right) + \sin\left(\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)-\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right)\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} + 7\alpha\right) + \sin(3\alpha)\right)$

Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} + z) = \cos(z)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) + \sin(3\alpha))$

Для второго слагаемого применим формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$:

$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)-\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right)\right) - \cos\left(\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)+\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right)\right)\right)$

$= \frac{1}{2}\left(\cos(7\alpha) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\alpha\right)\right)$

Используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - z) = \sin(z)$, получаем:

$= \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) - \sin(5\alpha))$

Теперь подставим полученные выражения в левую часть исходного тождества:

$\frac{1}{2}(\cos(7\alpha) + \sin(3\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos(7\alpha) - \sin(5\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(7\alpha) + \frac{1}{2}\sin(3\alpha) - \frac{1}{2}\cos(7\alpha) + \frac{1}{2}\sin(5\alpha)$

После упрощения получаем:

$= \frac{1}{2}(\sin(3\alpha) + \sin(5\alpha))$

Применим формулу преобразования суммы синусов в произведение $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$= \frac{1}{2}\left(2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2}\right) = \sin\frac{8\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = \sin(4\alpha)\cos(\alpha)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: тождество $\sin\left(\frac{\pi}{4} + 5\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} - 6\alpha\right) = \sin 4\alpha \cos \alpha$ доказано.