Номер 25.2, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

25.2. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5};$

2) $\sin 28^\circ \cos 24^\circ;$

3) $\sin 5\alpha \sin 3\alpha;$

4) $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \sin \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right).$

1) Для преобразования произведения $2\cos\frac{\pi}{8}\cos\frac{\pi}{5}$ в сумму используется формула произведения косинусов:

$2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$

В данном случае, чтобы избежать отрицательных углов, удобно взять $\alpha = \frac{\pi}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{8}$. Тогда:

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{5} + \frac{\pi}{8} = \frac{8\pi + 5\pi}{40} = \frac{13\pi}{40}$

$\alpha - \beta = \frac{\pi}{5} - \frac{\pi}{8} = \frac{8\pi - 5\pi}{40} = \frac{3\pi}{40}$

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$2\cos\frac{\pi}{5}\cos\frac{\pi}{8} = \cos(\frac{13\pi}{40}) + \cos(\frac{3\pi}{40})$

Ответ: $\cos\frac{13\pi}{40} + \cos\frac{3\pi}{40}$.

2) Для преобразования произведения $\sin28^\circ\cos24^\circ$ в сумму используется формула произведения синуса на косинус:

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

Здесь $\alpha = 28^\circ$ и $\beta = 24^\circ$.

$\alpha + \beta = 28^\circ + 24^\circ = 52^\circ$

$\alpha - \beta = 28^\circ - 24^\circ = 4^\circ$

Подставляем в формулу:

$\sin28^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{2}(\sin52^\circ + \sin4^\circ)$

Ответ: $\frac{1}{2}(\sin52^\circ + \sin4^\circ)$.

3) Для преобразования произведения $\sin5\alpha\sin3\alpha$ в сумму используется формула произведения синусов:

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$

В этом примере $A = 5\alpha$ и $B = 3\alpha$.

$A - B = 5\alpha - 3\alpha = 2\alpha$

$A + B = 5\alpha + 3\alpha = 8\alpha$

Подставляем в формулу:

$\sin5\alpha\sin3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(8\alpha))$

Ответ: $\frac{1}{2}(\cos2\alpha - \cos8\alpha)$.

4) Преобразуем произведение $\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)$, используя ту же формулу произведения синусов:

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A - B) - \cos(A + B))$

Здесь $A = \frac{\pi}{6} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{6} - \alpha$.

Найдем разность и сумму аргументов:

$A - B = (\frac{\pi}{6} + \alpha) - (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha = 2\alpha$

$A + B = (\frac{\pi}{6} + \alpha) + (\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Подставим эти выражения в формулу:

$\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha)\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{3}))$

Так как значение $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{2}\cos(2\alpha) - \frac{1}{4}$.