Номер 24.11, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 24. Сумма и разность синусов (косинусов). Глава 3. Тригонометрические функции - номер 24.11, страница 182.

24.11. Докажите тождество:

1) $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos \left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos \left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha$;

3) $\sin^2\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = - \frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}}$.

1) Докажем тождество $1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые и используем формулу $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ и формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$.

$1 + \sin \alpha + \cos \alpha = (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$.

Вынесем общий множитель $2 \cos \frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2 \cos \frac{\alpha}{2} \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)$.

Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим его на $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$:

$\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\alpha}{2}\right)$.

Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, можем переписать выражение в скобках, используя формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$:

$\sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Подставим полученное выражение обратно в исходное преобразование:

$2 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha$.

Упростим левую часть, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.

Для числителя:

$\cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha)$ (период косинуса $2\pi$).
$\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin(4\alpha)$.
Числитель принимает вид: $1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Для знаменателя:

$\cos(4\alpha + \pi) = -\cos(4\alpha)$.
$\cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) = \sin(4\alpha)$.
Знаменатель принимает вид: $1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)$.

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}{1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}$.

Применим формулы двойного угла для аргумента $2\alpha$:

$1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha)$,
$1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha)$,
$\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$.

Подставим эти выражения в дробь:

$\frac{2\cos^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\sin^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}$.

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))}{2\sin(2\alpha)(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))}$.

Сократим дробь на $2(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))$ (при условии, что это выражение не равно нулю):

$\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \operatorname{ctg}(2\alpha)$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\sin^2\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}}$.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя их периодичность.

$\frac{15\pi}{8} = 2\pi - \frac{\pi}{8}$.
$\sin\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) = \sin\left(-\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)$.
Следовательно, $\sin^2\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right)^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)$.

$\frac{17\pi}{8} = 2\pi + \frac{\pi}{8}$.
$\cos\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right)$.
Следовательно, $\cos^2\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right)$.

Левая часть тождества принимает вид:

$\sin^2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right)$.

Используем формулы понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$\frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right)}{2} - \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) - 1 - \cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)}{2}$.

Упростим выражение:

$-\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)}{2}$.

Применим формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$-\frac{2\cos\left(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}\right)\cos\left(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}\right)}{2} = -\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right)$.

Вычислим значения:

$-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(4\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(4\alpha) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}}$.

Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: тождество доказано.