1) Докажем тождество 1 + sin α + cos α = 2 2 cos α 2 cos ( α 2 − π 4 ) 1 + \sin \alpha + \cos \alpha = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) 1 + sin α + cos α = 2 2 cos 2 α cos ( 2 α − 4 π ) .
Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые и используем формулу 1 + cos α = 2 cos 2 α 2 1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} 1 + cos α = 2 cos 2 2 α и формулу синуса двойного угла sin α = 2 sin α 2 cos α 2 \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} sin α = 2 sin 2 α cos 2 α .
1 + sin α + cos α = ( 1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2 α 2 + 2 sin α 2 cos α 2 1 + \sin \alpha + \cos \alpha = (1 + \cos \alpha) + \sin \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} 1 + sin α + cos α = ( 1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2 2 α + 2 sin 2 α cos 2 α .
Вынесем общий множитель 2 cos α 2 2 \cos \frac{\alpha}{2} 2 cos 2 α за скобки:
2 cos α 2 ( cos α 2 + sin α 2 ) 2 \cos \frac{\alpha}{2} \left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right) 2 cos 2 α ( cos 2 α + sin 2 α ) .
Выражение в скобках преобразуем с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим его на 1 2 + 1 2 = 2 \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} 1 2 + 1 2 = 2 :
cos α 2 + sin α 2 = 2 ( 1 2 cos α 2 + 1 2 sin α 2 ) \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\alpha}{2}\right) cos 2 α + sin 2 α = 2 ( 2 1 cos 2 α + 2 1 sin 2 α ) .
Так как cos π 4 = 1 2 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} cos 4 π = 2 1 и sin π 4 = 1 2 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} sin 4 π = 2 1 , можем переписать выражение в скобках, используя формулу косинуса разности cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y \cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sin x sin y :
2 ( cos π 4 cos α 2 + sin π 4 sin α 2 ) = 2 cos ( α 2 − π 4 ) \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) 2 ( cos 4 π cos 2 α + sin 4 π sin 2 α ) = 2 cos ( 2 α − 4 π ) .
Подставим полученное выражение обратно в исходное преобразование:
2 cos α 2 ⋅ 2 cos ( α 2 − π 4 ) = 2 2 cos α 2 cos ( α 2 − π 4 ) 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2} \cos \frac{\alpha}{2} \cos\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}\right) 2 cos 2 α ⋅ 2 cos ( 2 α − 4 π ) = 2 2 cos 2 α cos ( 2 α − 4 π ) .
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.
2) Докажем тождество 1 + cos ( 4 α − 2 π ) + cos ( 4 α − π 2 ) 1 + cos ( 4 α + π ) + cos ( 4 α + 3 π 2 ) = ctg 2 α \frac{1 + \cos(4\alpha - 2\pi) + \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{1 + \cos(4\alpha + \pi) + \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)} = \operatorname{ctg} 2\alpha 1 + c o s ( 4 α + π ) + c o s ( 4 α + 2 3 π ) 1 + c o s ( 4 α − 2 π ) + c o s ( 4 α − 2 π ) = ctg 2 α .
Упростим левую часть, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
Для числителя:
cos ( 4 α − 2 π ) = cos ( 4 α ) \cos(4\alpha - 2\pi) = \cos(4\alpha) cos ( 4 α − 2 π ) = cos ( 4 α ) (период косинуса 2 π 2\pi 2 π ).cos ( 4 α − π 2 ) = cos ( π 2 − 4 α ) = sin ( 4 α ) \cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin(4\alpha) cos ( 4 α − 2 π ) = cos ( 2 π − 4 α ) = sin ( 4 α ) . Числитель принимает вид: 1 + cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) 1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha) 1 + cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) .
Для знаменателя:
cos ( 4 α + π ) = − cos ( 4 α ) \cos(4\alpha + \pi) = -\cos(4\alpha) cos ( 4 α + π ) = − cos ( 4 α ) .cos ( 4 α + 3 π 2 ) = cos ( 3 π 2 + 4 α ) = sin ( 4 α ) \cos\left(4\alpha + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 4\alpha\right) = \sin(4\alpha) cos ( 4 α + 2 3 π ) = cos ( 2 3 π + 4 α ) = sin ( 4 α ) . Знаменатель принимает вид: 1 − cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) 1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha) 1 − cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) .
Теперь дробь выглядит так:
1 + cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) 1 − cos ( 4 α ) + sin ( 4 α ) \frac{1 + \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)}{1 - \cos(4\alpha) + \sin(4\alpha)} 1 − c o s ( 4 α ) + s i n ( 4 α ) 1 + c o s ( 4 α ) + s i n ( 4 α ) .
Применим формулы двойного угла для аргумента 2 α 2\alpha 2 α :
1 + cos ( 4 α ) = 2 cos 2 ( 2 α ) 1 + \cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) 1 + cos ( 4 α ) = 2 cos 2 ( 2 α ) ,1 − cos ( 4 α ) = 2 sin 2 ( 2 α ) 1 - \cos(4\alpha) = 2\sin^2(2\alpha) 1 − cos ( 4 α ) = 2 sin 2 ( 2 α ) ,sin ( 4 α ) = 2 sin ( 2 α ) cos ( 2 α ) \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) sin ( 4 α ) = 2 sin ( 2 α ) cos ( 2 α ) .
Подставим эти выражения в дробь:
2 cos 2 ( 2 α ) + 2 sin ( 2 α ) cos ( 2 α ) 2 sin 2 ( 2 α ) + 2 sin ( 2 α ) cos ( 2 α ) \frac{2\cos^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{2\sin^2(2\alpha) + 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)} 2 s i n 2 ( 2 α ) + 2 s i n ( 2 α ) c o s ( 2 α ) 2 c o s 2 ( 2 α ) + 2 s i n ( 2 α ) c o s ( 2 α ) .
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
2 cos ( 2 α ) ( cos ( 2 α ) + sin ( 2 α ) ) 2 sin ( 2 α ) ( sin ( 2 α ) + cos ( 2 α ) ) \frac{2\cos(2\alpha)(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha))}{2\sin(2\alpha)(\sin(2\alpha) + \cos(2\alpha))} 2 s i n ( 2 α ) ( s i n ( 2 α ) + c o s ( 2 α )) 2 c o s ( 2 α ) ( c o s ( 2 α ) + s i n ( 2 α )) .
Сократим дробь на 2 ( cos ( 2 α ) + sin ( 2 α ) ) 2(\cos(2\alpha) + \sin(2\alpha)) 2 ( cos ( 2 α ) + sin ( 2 α )) (при условии, что это выражение не равно нулю):
cos ( 2 α ) sin ( 2 α ) = ctg ( 2 α ) \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \operatorname{ctg}(2\alpha) s i n ( 2 α ) c o s ( 2 α ) = ctg ( 2 α ) .
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.
3) Докажем тождество sin 2 ( 15 π 8 − 2 α ) − cos 2 ( 17 π 8 − 2 α ) = − cos 4 α 2 \sin^2\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} sin 2 ( 8 15 π − 2 α ) − cos 2 ( 8 17 π − 2 α ) = − 2 c o s 4 α .
Преобразуем левую часть. Сначала упростим аргументы тригонометрических функций, используя их периодичность.
15 π 8 = 2 π − π 8 \frac{15\pi}{8} = 2\pi - \frac{\pi}{8} 8 15 π = 2 π − 8 π .sin ( 15 π 8 − 2 α ) = sin ( 2 π − π 8 − 2 α ) = sin ( − ( π 8 + 2 α ) ) = − sin ( π 8 + 2 α ) \sin\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) = \sin\left(-\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right) sin ( 8 15 π − 2 α ) = sin ( 2 π − 8 π − 2 α ) = sin ( − ( 8 π + 2 α ) ) = − sin ( 8 π + 2 α ) . Следовательно, sin 2 ( 15 π 8 − 2 α ) = ( − sin ( π 8 + 2 α ) ) 2 = sin 2 ( π 8 + 2 α ) \sin^2\left(\frac{15\pi}{8} - 2\alpha\right) = \left(-\sin\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right)^2 = \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right) sin 2 ( 8 15 π − 2 α ) = ( − sin ( 8 π + 2 α ) ) 2 = sin 2 ( 8 π + 2 α ) .
17 π 8 = 2 π + π 8 \frac{17\pi}{8} = 2\pi + \frac{\pi}{8} 8 17 π = 2 π + 8 π .cos ( 17 π 8 − 2 α ) = cos ( 2 π + π 8 − 2 α ) = cos ( π 8 − 2 α ) \cos\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) cos ( 8 17 π − 2 α ) = cos ( 2 π + 8 π − 2 α ) = cos ( 8 π − 2 α ) . Следовательно, cos 2 ( 17 π 8 − 2 α ) = cos 2 ( π 8 − 2 α ) \cos^2\left(\frac{17\pi}{8} - 2\alpha\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) cos 2 ( 8 17 π − 2 α ) = cos 2 ( 8 π − 2 α ) .
Левая часть тождества принимает вид:
sin 2 ( π 8 + 2 α ) − cos 2 ( π 8 − 2 α ) \sin^2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right) sin 2 ( 8 π + 2 α ) − cos 2 ( 8 π − 2 α ) .
Используем формулы понижения степени: sin 2 x = 1 − cos ( 2 x ) 2 \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} sin 2 x = 2 1 − c o s ( 2 x ) и cos 2 x = 1 + cos ( 2 x ) 2 \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} cos 2 x = 2 1 + c o s ( 2 x ) .
1 − cos ( 2 ( π 8 + 2 α ) ) 2 − 1 + cos ( 2 ( π 8 − 2 α ) ) 2 = 1 − cos ( π 4 + 4 α ) − 1 − cos ( π 4 − 4 α ) 2 \frac{1 - \cos\left(2\left(\frac{\pi}{8} + 2\alpha\right)\right)}{2} - \frac{1 + \cos\left(2\left(\frac{\pi}{8} - 2\alpha\right)\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) - 1 - \cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)}{2} 2 1 − c o s ( 2 ( 8 π + 2 α ) ) − 2 1 + c o s ( 2 ( 8 π − 2 α ) ) = 2 1 − c o s ( 4 π + 4 α ) − 1 − c o s ( 4 π − 4 α ) .
Упростим выражение:
− cos ( π 4 + 4 α ) + cos ( π 4 − 4 α ) 2 -\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + 4\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - 4\alpha\right)}{2} − 2 c o s ( 4 π + 4 α ) + c o s ( 4 π − 4 α ) .
Применим формулу суммы косинусов cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} cos x + cos y = 2 cos 2 x + y cos 2 x − y :
− 2 cos ( ( π 4 + 4 α ) + ( π 4 − 4 α ) 2 ) cos ( ( π 4 + 4 α ) − ( π 4 − 4 α ) 2 ) 2 = − cos ( π 2 2 ) cos ( 8 α 2 ) -\frac{2\cos\left(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) + (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}\right)\cos\left(\frac{(\frac{\pi}{4} + 4\alpha) - (\frac{\pi}{4} - 4\alpha)}{2}\right)}{2} = -\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) − 2 2 c o s ( 2 ( 4 π + 4 α ) + ( 4 π − 4 α ) ) c o s ( 2 ( 4 π + 4 α ) − ( 4 π − 4 α ) ) = − cos ( 2 2 π ) cos ( 2 8 α ) .
Вычислим значения:
− cos ( π 4 ) cos ( 4 α ) = − 2 2 cos ( 4 α ) = − cos 4 α 2 -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(4\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(4\alpha) = -\frac{\cos 4\alpha}{\sqrt{2}} − cos ( 4 π ) cos ( 4 α ) = − 2 2 cos ( 4 α ) = − 2 c o s 4 α .
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: тождество доказано.