Номер 24.4, страница 180 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$;

2) $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$;

3) $\frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{\cos 6\alpha + \cos 4\alpha}{\cos \alpha + \cos 9\alpha}$ воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.

Преобразуем числитель:

$\cos 6\alpha + \cos 4\alpha = 2 \cos\frac{6\alpha+4\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = 2 \cos\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{2\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos \alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\cos \alpha + \cos 9\alpha = 2 \cos\frac{\alpha+9\alpha}{2} \cos\frac{\alpha-9\alpha}{2} = 2 \cos\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{-8\alpha}{2} = 2 \cos 5\alpha \cos(-4\alpha) = 2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha$, так как $\cos(-x) = \cos x$.

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$\frac{2 \cos 5\alpha \cos \alpha}{2 \cos 5\alpha \cos 4\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos 5\alpha$ (при условии, что $\cos 5\alpha \ne 0$):

$\frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}$.

Ответ: $\frac{\cos \alpha}{\cos 4\alpha}$.

2) Для упрощения выражения $\frac{\cos \alpha - \cos 11\alpha}{\sin 11\alpha - \sin \alpha}$ используем формулы разности косинусов и разности синусов:

$\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2}$

Преобразуем числитель:

$\cos \alpha - \cos 11\alpha = -2 \sin\frac{\alpha+11\alpha}{2} \sin\frac{\alpha-11\alpha}{2} = -2 \sin\frac{12\alpha}{2} \sin\frac{-10\alpha}{2} = -2 \sin 6\alpha \sin(-5\alpha)$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем: $2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin 11\alpha - \sin \alpha = 2 \sin\frac{11\alpha-\alpha}{2} \cos\frac{11\alpha+\alpha}{2} = 2 \sin\frac{10\alpha}{2} \cos\frac{12\alpha}{2} = 2 \sin 5\alpha \cos 6\alpha$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{2 \sin 6\alpha \sin 5\alpha}{2 \sin 5\alpha \cos 6\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\sin 5\alpha$ (при условии, что $\sin 5\alpha \ne 0$):

$\frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha} = \tan 6\alpha$.

Ответ: $\tan 6\alpha$.

3) Для упрощения выражения $\frac{\cos 58^\circ + \cos 32^\circ}{\sin 58^\circ + \sin 32^\circ}$ воспользуемся формулами суммы косинусов и суммы синусов:

$\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

$\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель:

$\cos 58^\circ + \cos 32^\circ = 2 \cos\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \cos\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ$.

Преобразуем знаменатель:

$\sin 58^\circ + \sin 32^\circ = 2 \sin\frac{58^\circ+32^\circ}{2} \cos\frac{58^\circ-32^\circ}{2} = 2 \sin\frac{90^\circ}{2} \cos\frac{26^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{2 \cos 45^\circ \cos 13^\circ}{2 \sin 45^\circ \cos 13^\circ}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos 13^\circ$ (который не равен нулю):

$\frac{\cos 45^\circ}{\sin 45^\circ} = \cot 45^\circ$.

Значение котангенса 45 градусов равно 1.

Ответ: $1$.