Номер 23.37, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.37. Докажите тождество $\frac{3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha}{3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha} = \text{ctg}^4 \frac{\alpha}{2}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Сначала используем формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, чтобы выразить все тригонометрические функции через $\cos\alpha$.

Преобразуем числитель дроби:
$3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha = 3 + 4\cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 2$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$2(\cos^2\alpha + 2\cos\alpha + 1) = 2(1 + \cos\alpha)^2$.

Аналогично преобразуем знаменатель дроби:
$3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha = 3 - 4\cos\alpha + (2\cos^2\alpha - 1) = 2\cos^2\alpha - 4\cos\alpha + 2$.
Вынесем общий множитель 2 и свернем выражение в полный квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$2(\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1) = 2(1 - \cos\alpha)^2$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:
$\frac{3 + 4\cos\alpha + \cos2\alpha}{3 - 4\cos\alpha + \cos2\alpha} = \frac{2(1 + \cos\alpha)^2}{2(1 - \cos\alpha)^2} = \left(\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}\right)^2$.

Теперь воспользуемся формулами половинного угла (или формулами понижения степени), чтобы перейти к аргументу $\frac{\alpha}{2}$:
$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$
$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$
Подставим эти выражения в полученную дробь:
$\left(\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}\right)^2 = \left(\frac{2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \left(\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2$.

По определению котангенса $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$, следовательно, $\text{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$. Применив это к нашему выражению, получаем:
$\left(\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right)^2 = \left(\text{ctg}^2\frac{\alpha}{2}\right)^2 = \text{ctg}^4\frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.