Номер 23.35, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.35. Докажите, что:

1) $ \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}; $

2) $ 8 \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = 1; $

3) $ \sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}. $

1) Докажем тождество $sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$.
Для этого умножим и разделим левую часть выражения на $2 \cos 18^\circ$ (это возможно, так как $\cos 18^\circ \neq 0$):
$sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$
Применим в числителе формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$\frac{\sin(2 \cdot 18^\circ) \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cos 18^\circ}$
Снова применим эту же формулу, умножив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{2 \cdot 2 \cos 18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4 \cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4 \cos 18^\circ}$
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$, получаем $\sin 72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos 18^\circ$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos 18^\circ}{4 \cos 18^\circ} = \frac{1}{4}$
Таким образом, левая часть равна правой, и равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} = 1$.
Обозначим левую часть за $L$. Умножим и разделим $L$ на $\sin\frac{\pi}{9}$ (это возможно, так как $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$):
$L = \frac{8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$L = \frac{4 \cdot (2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9})\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
$L = \frac{2 \cdot (2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9})\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
$L = \frac{\sin(2 \cdot \frac{4\pi}{9})}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:
$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$
Подставляем это в выражение для $L$:
$L = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = 1$
Равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}$.
Преобразуем синусы в косинусы, используя формулы приведения $\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha)$:
$\sin 6^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \cos 84^\circ$
$\sin 42^\circ = \cos(90^\circ - 42^\circ) = \cos 48^\circ$
Тогда левая часть примет вид:
$L = \cos 84^\circ \cos 48^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ$
Расположим множители в порядке возрастания углов:
$L = \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ$
Умножим и разделим выражение на $16\sin 12^\circ$ (это возможно, т.к. $\sin 12^\circ \neq 0$):
$L = \frac{16\sin 12^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$:
$L = \frac{8 \cdot (2\sin 12^\circ \cos 12^\circ) \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{8 \sin 24^\circ \cos 24^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
$L = \frac{4 \sin 48^\circ \cos 48^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{2 \sin 96^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Применим формулу приведения $\sin 96^\circ = \sin(180^\circ - 84^\circ) = \sin 84^\circ$:
$L = \frac{2 \sin 84^\circ \cos 84^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 84^\circ)}{16\sin 12^\circ} = \frac{\sin 168^\circ}{16\sin 12^\circ}$
Снова используем формулу приведения $\sin 168^\circ = \sin(180^\circ - 12^\circ) = \sin 12^\circ$:
$L = \frac{\sin 12^\circ}{16\sin 12^\circ} = \frac{1}{16}$
Равенство доказано.
Ответ: что и требовалось доказать.