Номер 23.34, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.34. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha (\operatorname{ctg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha)}$

2) $\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha}$

3) $\frac{\cos \alpha}{\operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - \operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{2}}$

4) $\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}$

1)

Рассмотрим знаменатель выражения: $\sin^2 2\alpha (\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha)$.
Преобразуем выражение в скобках, используя определения котангенса и тангенса:
$\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
Числитель является разностью квадратов:
$\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$, получаем, что числитель равен $\cos 2\alpha$.
Таким образом, $\text{ctg}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 2\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} = \frac{\cos 2\alpha \cdot (\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha)}{\sin^2 2\alpha \cdot \cos 2\alpha}$
Сократим $\cos 2\alpha$:
$\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\sin^2 2\alpha}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:
$\frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{(2\sin\alpha\cos\alpha)^2} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2)

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin^2\alpha\cos^2\alpha$:
$\frac{\sin^2 3\alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 3\alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 3\alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}$
Числитель представляет собой разность квадратов:
$\sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha - \cos^2 3\alpha \sin^2 \alpha = (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)(\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha)$
Применим формулы синуса разности и синуса суммы:
$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
Тогда числитель равен:
$\sin(3\alpha - \alpha) \sin(3\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha)\sin(4\alpha)$
Знаменатель можно преобразовать с помощью формулы синуса двойного угла:
$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sin 2\alpha}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2 2\alpha}{4}$
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в выражение:
$\frac{\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\frac{\sin^2 2\alpha}{4}} = \frac{4\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}{\sin^2 2\alpha} = \frac{4\sin(4\alpha)}{\sin(2\alpha)}$
Применим формулу синуса двойного угла для $\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)$:
$\frac{4 \cdot 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 8\cos(2\alpha)$

Ответ: $8\cos 2\alpha$

3)

Преобразуем знаменатель:
$\text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - \text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^4 \frac{\alpha}{2} - \cos^4 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$
Числитель полученной дроби является разностью квадратов:
$\sin^4 \frac{\alpha}{2} - \cos^4 \frac{\alpha}{2} = (\sin^2 \frac{\alpha}{2} - \cos^2 \frac{\alpha}{2})(\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2})$
Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, то $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$.
В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$, поэтому числитель равен $-\cos(2 \cdot \frac{\alpha}{2}) = -\cos\alpha$.
Знаменатель исходного выражения равен:
$\frac{-\cos\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{\cos \alpha}{\frac{-\cos\alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}} = -\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$, откуда $\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{2}$.
Тогда выражение принимает вид:
$-(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})^2 = - \left(\frac{\sin\alpha}{2}\right)^2 = -\frac{\sin^2\alpha}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}\sin^2\alpha$

4)

Рассмотрим числитель: $\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
Воспользуемся формулой произведения синусов: $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$.
Пусть $A = \frac{\pi}{4}+\alpha$ и $B = \frac{\pi}{4}-\alpha$. Тогда:
$A-B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) - (\frac{\pi}{4}-\alpha) = 2\alpha$
$A+B = (\frac{\pi}{4}+\alpha) + (\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
Числитель равен:
$\frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - 0) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha)$
Рассмотрим знаменатель: $\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha$.
Это формула синуса разности: $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
Знаменатель равен:
$\sin(3\alpha - \alpha) = \sin(2\alpha)$
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\frac{1}{2}\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{1}{2}\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2}\text{ctg}(2\alpha)$