Номер 23.30, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.30. Дано: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Найдите $cos \frac{\alpha}{2}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой косинуса половинного угла и основным тригонометрическим тождеством. Решение можно разбить на несколько шагов.

Определение знаков тригонометрических функций

Сначала определим, в каких координатных четвертях лежат углы $\frac{\alpha}{2}$ и $\alpha$, чтобы правильно выбрать знаки для косинуса.

Из условия задачи известно, что $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти. Для любого угла во второй четверти его косинус отрицателен. Следовательно, $\cos\frac{\alpha}{2}$ должен быть отрицательным числом.

Теперь найдем, в какой четверти лежит угол $\alpha$. Для этого умножим неравенство для $\frac{\alpha}{2}$ на 2: $2 \cdot 90^\circ < \alpha < 2 \cdot 135^\circ$, что дает $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот диапазон углов соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Это согласуется с условием, что $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, $\cos\alpha$ также должен быть отрицательным.

Нахождение значения $\cos\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Подставим известное значение $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Поскольку мы установили, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком "минус": $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$.

Нахождение значения $\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь применим формулу понижения степени для косинуса (или формулу косинуса половинного угла): $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$. Подставим в нее найденное значение $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Из этого следует, что $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Как мы определили в самом начале, угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, мы должны выбрать отрицательное значение.

$\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.