Номер 23.23, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.23. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha};$

2) $\frac{2 \cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha};$

3) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha};$

4) $\left(\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\sin 2\alpha;$

5) $(\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha)\sin 2\alpha;$

6) $\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}.$

1) Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 2\alpha \cos 2\alpha$:

$\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

В числителе используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

$\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha = \cos(6\alpha - 2\alpha) = \cos 4\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$.

Подставляем упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\cos 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = 2 \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2 \cot 4\alpha$.

Ответ: $2 \cot 4\alpha$.

2) Преобразуем знаменатель, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\cot \alpha - \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.

В числителе полученной дроби используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$.

Знаменатель исходного выражения становится: $\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2 \cot 2\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{2 \cos 2\alpha}{2 \cot 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha}{2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}} = \sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha) = 1 - \tan^2 \alpha$:

$\frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{\tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{\tan \alpha (1 - \tan \alpha) + \tan \alpha (1 + \tan \alpha)}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha)} = \frac{\tan \alpha - \tan^2 \alpha + \tan \alpha + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Упростим числитель:

$\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Это формула тангенса двойного угла: $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Ответ: $\tan 2\alpha$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$:

$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Упростим числитель: $\frac{2 \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$.

Теперь умножим результат на $\sin 2\alpha$:

$\frac{2}{\cos \alpha} \cdot \sin 2\alpha = \frac{2}{\cos \alpha} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = 4 \sin \alpha$.

Ответ: $4 \sin \alpha$.

5) Преобразуем выражение в скобках, выразив котангенсы через синус и косинус:

$\cot \alpha - \cot 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha}$.

В числителе используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

$\cos \alpha \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin \alpha$.

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$.

Умножим полученный результат на $\sin 2\alpha$:

$(\frac{1}{\sin 2\alpha}) \cdot \sin 2\alpha = 1$.

Ответ: $1$.

6) Упростим числитель. Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$:

$\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha = \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Упростим знаменатель, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$:

$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$.

Подставим упрощенные части в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 \alpha}{-\sin 2\alpha}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\cos^2 \alpha}{-2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{2 \sin \alpha} = -\frac{1}{2} \cot \alpha$.

Ответ: $-\frac{1}{2} \cot \alpha$.