Номер 23.19, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.19. Дано: $\cos2\alpha = -0,6$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

Дано, что $ \cos{2\alpha} = -0,6 $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти.

Во второй четверти синус является положительной величиной ($ \sin{\alpha} > 0 $), а косинус — отрицательной ($ \cos{\alpha} < 0 $). Это важно для определения знаков при извлечении квадратного корня.

Для решения задачи мы воспользуемся формулами косинуса двойного угла: $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $ для нахождения синуса и $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $ для нахождения косинуса.

sin α

Используем формулу $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $. Выразим из нее $ \sin^2{\alpha} $:

$ 2\sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha} $

$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $

Подставим известное значение $ \cos{2\alpha} = -0,6 $:

$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - (-0,6)}{2} = \frac{1 + 0,6}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8 $

Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его синус положителен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$ \sin{\alpha} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \sin{\alpha} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

cos α

Используем формулу $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $. Выразим из нее $ \cos^2{\alpha} $:

$ 2\cos^2{\alpha} = 1 + \cos{2\alpha} $

$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $

Подставим известное значение $ \cos{2\alpha} = -0,6 $:

$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + (-0,6)}{2} = \frac{1 - 0,6}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2 $

Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$ \cos{\alpha} = -\sqrt{0,2} = -\sqrt{\frac{2}{10}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.