Номер 23.21, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.21. Используя формулы половинного угла, найдите:

1) $\sin 15^\circ$;

2) $\cos 15^\circ$;

3) $\text{tg } 75^\circ$;

4) $\cos 75^\circ$;

5) $\text{tg } 112^\circ 30'$;

6) $\text{tg } \frac{\pi}{8}$.

1) Для нахождения $ \sin 15^\circ $ воспользуемся формулой синуса половинного угла: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} $.
Представим $ 15^\circ $ как $ \frac{30^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 30^\circ $. Угол $ 15^\circ $ находится в первой координатной четверти, поэтому его синус положителен. Выбираем знак «+».
Значение косинуса для $ 30^\circ $ известно: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} $.
Чтобы упростить выражение с вложенным корнем $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $, преобразуем его:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \sin 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

2) Для нахождения $ \cos 15^\circ $ воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} $.
Так же, как и в предыдущем пункте, $ 15^\circ = \frac{30^\circ}{2} $, поэтому $ \alpha = 30^\circ $. Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, его косинус положителен. Выбираем знак «+».
$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $.
Упростим выражение $ \sqrt{2+\sqrt{3}} $:
$ \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

3) Для нахождения $ \text{tg} 75^\circ $ используем одну из формул тангенса половинного угла: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Представим $ 75^\circ $ как $ \frac{150^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Найдём значения синуса и косинуса для угла $ 150^\circ $:$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg} 75^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2+\sqrt{3} $.

Ответ: $ 2+\sqrt{3} $.

4) Для нахождения $ \cos 75^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} $.
Представим $ 75^\circ $ как $ \frac{150^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 150^\circ $. Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, его косинус положителен. Выбираем знак «+».
$ \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1+\cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $. (Расчеты аналогичны пункту 1).

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

5) Для нахождения $ \text{tg} 112^\circ 30' $ используем формулу $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Переведем минуты в градусы: $ 112^\circ 30' = 112.5^\circ $. Представим $ 112.5^\circ $ как $ \frac{225^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 225^\circ $.
Найдём значения синуса и косинуса для угла $ 225^\circ $:$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg} 112.5^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $.
Упростим, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:$ -\frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}+2}{2} = -(\sqrt{2}+1) = -1-\sqrt{2} $.

Ответ: $ -1-\sqrt{2} $.

6) Для нахождения $ \text{tg} \frac{\pi}{8} $ используем формулу $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Представим $ \frac{\pi}{8} $ как $ \frac{\pi/4}{2} $, тогда $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ равны:$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg}\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $.
Упростим, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:$ \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1 $.

Ответ: $ \sqrt{2}-1 $.