gdz.top
Номер 23.17, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 23. Формулы двойного и половинного углов - номер 23.17, страница 175.
№23.16
№23.17 (с. 175)
Условие. №23.17 (с. 175)
23.17. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \tan \alpha $, если $ \tan \frac{\alpha}{2} = 5 $.
Решение 1. №23.17 (с. 175)
Решение 2. №23.17 (с. 175)
Решение 3. №23.17 (с. 175)
Решение 4. №23.17 (с. 175)
Решение 5. №23.17 (с. 175)
Для решения задачи воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают тригонометрические функции угла $\alpha$ через тангенс половинного угла. По условию, $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$.
sin α
Используем формулу выражения синуса через тангенс половинного угла:
$ \sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}} $
Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:
$ \sin\alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 + 5^2} = \frac{10}{1 + 25} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13} $
Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $.
cos α
Используем формулу выражения косинуса через тангенс половинного угла:
$ \cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}} $
Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:
$ \cos\alpha = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13} $
Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $.
tg α
Для нахождения тангенса угла $\alpha$ можно использовать как формулу выражения через тангенс половинного угла, так и отношение уже найденных синуса и косинуса.
1-й способ: по формуле
$ \tg\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}} $
Подставляем $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:
$ \tg\alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 - 5^2} = \frac{10}{1 - 25} = \frac{10}{-24} = -\frac{5}{12} $
2-й способ: через отношение $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$
Используем найденные значения $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$:
$ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = -\frac{5}{12} $
Оба способа приводят к одинаковому результату.
Ответ: $ \tg\alpha = -\frac{5}{12} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 23.17 расположенного на странице 175 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №23.17 (с. 175), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.