Номер 23.15, страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.15. Докажите тождество:

1) $2\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = 1;$

2) $\operatorname{ctg} 3\alpha(1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha;$

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2;$

4) $\frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $2\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = 1$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$2\sin^2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha + 1 - 2\sin^2\alpha = 1$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой ($1=1$), значит, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\text{ctg } 3\alpha(1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу разности с косинусом: $1 - \cos 2x = 2\sin^2x$. В нашем случае $2x = 6\alpha$, следовательно $x = 3\alpha$. Таким образом, $1 - \cos 6\alpha = 2\sin^2(3\alpha)$.
Запишем котангенс через синус и косинус: $\text{ctg } 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot 2\sin^2(3\alpha)$.
Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (тождество справедливо при $\sin 3\alpha \neq 0$):
$2\cos 3\alpha \sin 3\alpha$.
Это выражение является формулой синуса двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Для $x=3\alpha$ получаем:
$2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Сократим дробь на $\sin^2\alpha$ (тождество справедливо при $\sin^2\alpha \neq 0$):
$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \text{tg}^2 2\alpha$ преобразуем его левую часть.
Применим формулы для двойного угла ($4\alpha = 2 \cdot 2\alpha$):
В числителе: $1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$.
В знаменателе: $1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2(2\alpha)$.
Подставим эти выражения в дробь:
$\frac{2\sin^2(2\alpha)}{2\cos^2(2\alpha)}$.
Сократим на 2:
$\frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^2$.
По определению тангенса, $\frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg } x$. Следовательно:
$\left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^2 = \text{tg}^2(2\alpha)$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.