Страница 175 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.14. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 - \cos \frac{5\alpha}{6}$;

2) $1 + \cos 12\alpha$;

3) $1 + \cos 40^{\circ}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2}$.

1) Для преобразования выражения $1 - \cos{\frac{5\alpha}{6}}$ воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени, которая позволяет представить разность в виде произведения: $1 - \cos(x) = 2\sin^2(\frac{x}{2})$. В данном случае в качестве $x$ выступает $\frac{5\alpha}{6}$. Соответственно, половинный угол будет равен $\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5\alpha}{6} = \frac{5\alpha}{12}$. Подставляя это значение в формулу, получаем итоговое произведение: $1 - \cos{\frac{5\alpha}{6}} = 2\sin^2{\frac{5\alpha}{12}}$.
Ответ: $2\sin^2{\frac{5\alpha}{12}}$

2) Для выражения $1 + \cos{12\alpha}$ применим соответствующую формулу для суммы с косинусом: $1 + \cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$. Здесь $x = 12\alpha$, следовательно, половинный угол равен $\frac{x}{2} = \frac{12\alpha}{2} = 6\alpha$. Подставив это в формулу, мы преобразуем сумму в произведение: $1 + \cos{12\alpha} = 2\cos^2{6\alpha}$.
Ответ: $2\cos^2{6\alpha}$

3) Выражение $1 + \cos{40^\circ}$ преобразуется аналогично предыдущему пункту, используя формулу $1 + \cos(x) = 2\cos^2(\frac{x}{2})$. В этом случае $x = 40^\circ$, а половинный угол составляет $\frac{x}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$. Таким образом, получаем: $1 + \cos{40^\circ} = 2\cos^2{20^\circ}$.
Ответ: $2\cos^2{20^\circ}$

4) Для преобразования выражения $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}}$ сначала необходимо привести его к виду, удобному для применения формул понижения степени. Для этого воспользуемся формулой приведения $\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$. Применим ее к нашему выражению: $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}} = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$. Теперь у нас есть выражение вида $1 - \cos(y)$, где $y = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$. Используем формулу $1 - \cos(y) = 2\sin^2(\frac{y}{2})$. Находим половинный угол: $\frac{y}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}$. В результате получаем: $1 - \sin{\frac{\alpha}{2}} = 2\sin^2{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})}$.
Ответ: $2\sin^2{(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})}$

23.15. Докажите тождество:

1) $2\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = 1;$

2) $\operatorname{ctg} 3\alpha(1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha;$

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2;$

4) $\frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $2\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = 1$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в левую часть исходного равенства:
$2\sin^2\alpha + (1 - 2\sin^2\alpha) = 2\sin^2\alpha + 1 - 2\sin^2\alpha = 1$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой ($1=1$), значит, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\text{ctg } 3\alpha(1 - \cos 6\alpha) = \sin 6\alpha$ преобразуем его левую часть.
Используем формулу разности с косинусом: $1 - \cos 2x = 2\sin^2x$. В нашем случае $2x = 6\alpha$, следовательно $x = 3\alpha$. Таким образом, $1 - \cos 6\alpha = 2\sin^2(3\alpha)$.
Запишем котангенс через синус и косинус: $\text{ctg } 3\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha}$.
Подставим полученные выражения в левую часть:
$\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} \cdot 2\sin^2(3\alpha)$.
Сократим дробь на $\sin 3\alpha$ (тождество справедливо при $\sin 3\alpha \neq 0$):
$2\cos 3\alpha \sin 3\alpha$.
Это выражение является формулой синуса двойного угла: $2\sin x \cos x = \sin 2x$. Для $x=3\alpha$ получаем:
$2\sin 3\alpha \cos 3\alpha = \sin(2 \cdot 3\alpha) = \sin 6\alpha$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin^2 \alpha} = 2$ преобразуем его левую часть.
Воспользуемся формулой $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Сократим дробь на $\sin^2\alpha$ (тождество справедливо при $\sin^2\alpha \neq 0$):
$\frac{2\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{1 - \cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} = \text{tg}^2 2\alpha$ преобразуем его левую часть.
Применим формулы для двойного угла ($4\alpha = 2 \cdot 2\alpha$):
В числителе: $1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$.
В знаменателе: $1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2(2\alpha)$.
Подставим эти выражения в дробь:
$\frac{2\sin^2(2\alpha)}{2\cos^2(2\alpha)}$.
Сократим на 2:
$\frac{\sin^2(2\alpha)}{\cos^2(2\alpha)} = \left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^2$.
По определению тангенса, $\frac{\sin x}{\cos x} = \text{tg } x$. Следовательно:
$\left(\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\right)^2 = \text{tg}^2(2\alpha)$.
Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

23.16. Упростите выражение:

1) $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin 2\alpha;$

2) $\frac{1 + \cos 8\alpha}{\sin 8\alpha}.$

1) Для упрощения выражения $2\sin^2(135^\circ - \alpha) - \sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $2\sin^2(x) = 1 - \cos(2x)$.

Применим эту формулу к первому слагаемому, положив $x = 135^\circ - \alpha$:

$2\sin^2(135^\circ - \alpha) = 1 - \cos(2(135^\circ - \alpha))$

Раскроем скобки в аргументе косинуса:

$1 - \cos(270^\circ - 2\alpha)$

Далее используем формулу приведения $\cos(270^\circ - \beta) = -\sin(\beta)$. В данном случае $\beta = 2\alpha$, поэтому:

$\cos(270^\circ - 2\alpha) = -\sin(2\alpha)$

Подставим это обратно в преобразованное слагаемое:

$1 - (-\sin(2\alpha)) = 1 + \sin(2\alpha)$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим полученный результат:

$(1 + \sin(2\alpha)) - \sin(2\alpha) = 1 + \sin(2\alpha) - \sin(2\alpha) = 1$

Ответ: $1$

2) Для упрощения дроби $\frac{1 + \cos(8\alpha)}{\sin(8\alpha)}$ воспользуемся формулами двойного угла.

Для числителя применим формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. Если положить $2x = 8\alpha$, то $x = 4\alpha$.

$1 + \cos(8\alpha) = 2\cos^2(4\alpha)$

Для знаменателя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Аналогично, при $2x = 8\alpha$ получаем $x = 4\alpha$.

$\sin(8\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)$

Подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{1 + \cos(8\alpha)}{\sin(8\alpha)} = \frac{2\cos^2(4\alpha)}{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)}$

Сократим общие множители 2 и $\cos(4\alpha)$ (это возможно, так как если $\cos(4\alpha)=0$, то знаменатель исходной дроби $\sin(8\alpha) = 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) = 0$, что недопустимо):

$\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}$

Полученное отношение по определению является котангенсом: $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

Следовательно, итоговый результат:

$\cot(4\alpha)$

Ответ: $\cot(4\alpha)$

23.17. Найдите $ \sin \alpha $, $ \cos \alpha $, $ \tan \alpha $, если $ \tan \frac{\alpha}{2} = 5 $.

Для решения задачи воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки, которые выражают тригонометрические функции угла $\alpha$ через тангенс половинного угла. По условию, $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$.

sin α

Используем формулу выражения синуса через тангенс половинного угла:

$ \sin\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}} $

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:

$ \sin\alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 + 5^2} = \frac{10}{1 + 25} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13} $

Ответ: $ \sin\alpha = \frac{5}{13} $.

cos α

Используем формулу выражения косинуса через тангенс половинного угла:

$ \cos\alpha = \frac{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2\frac{\alpha}{2}} $

Подставляем известное значение $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:

$ \cos\alpha = \frac{1 - 5^2}{1 + 5^2} = \frac{1 - 25}{1 + 25} = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13} $

Ответ: $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $.

tg α

Для нахождения тангенса угла $\alpha$ можно использовать как формулу выражения через тангенс половинного угла, так и отношение уже найденных синуса и косинуса.

1-й способ: по формуле

$ \tg\alpha = \frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1 - \tg^2\frac{\alpha}{2}} $

Подставляем $\tg\frac{\alpha}{2} = 5$:

$ \tg\alpha = \frac{2 \cdot 5}{1 - 5^2} = \frac{10}{1 - 25} = \frac{10}{-24} = -\frac{5}{12} $

2-й способ: через отношение $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$

Используем найденные значения $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ и $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$:

$ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = -\frac{5}{12} $

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $ \tg\alpha = -\frac{5}{12} $.

23.18. Найдите $cos(2\alpha)$, если $tg(\alpha) = -3$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой, выражающей косинус двойного угла через тангенс одинарного угла:

$cos(2\alpha) = \frac{1 - tg^2\alpha}{1 + tg^2\alpha}$

По условию нам дано значение $tg\alpha = -3$.

Подставим это значение в формулу. Сначала вычислим $tg^2\alpha$:

$tg^2\alpha = (tg\alpha)^2 = (-3)^2 = 9$

Теперь подставим найденное значение в основную формулу:

$cos(2\alpha) = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} = -0.8$

Ответ: $-0.8$

23.19. Дано: $\cos2\alpha = -0,6$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$.

Дано, что $ \cos{2\alpha} = -0,6 $ и угол $ \alpha $ находится в интервале $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $. Этот интервал соответствует второй координатной четверти.

Во второй четверти синус является положительной величиной ($ \sin{\alpha} > 0 $), а косинус — отрицательной ($ \cos{\alpha} < 0 $). Это важно для определения знаков при извлечении квадратного корня.

Для решения задачи мы воспользуемся формулами косинуса двойного угла: $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $ для нахождения синуса и $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $ для нахождения косинуса.

sin α

Используем формулу $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $. Выразим из нее $ \sin^2{\alpha} $:

$ 2\sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha} $

$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $

Подставим известное значение $ \cos{2\alpha} = -0,6 $:

$ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - (-0,6)}{2} = \frac{1 + 0,6}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8 $

Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его синус положителен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$ \sin{\alpha} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \sin{\alpha} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $.

cos α

Используем формулу $ \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 $. Выразим из нее $ \cos^2{\alpha} $:

$ 2\cos^2{\alpha} = 1 + \cos{2\alpha} $

$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $

Подставим известное значение $ \cos{2\alpha} = -0,6 $:

$ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + (-0,6)}{2} = \frac{1 - 0,6}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2 $

Так как угол $ \alpha $ находится во второй четверти, его косинус отрицателен. Извлекая квадратный корень, получаем:

$ \cos{\alpha} = -\sqrt{0,2} = -\sqrt{\frac{2}{10}} = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $

Ответ: $ \cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{5} $.

23.20. Дано: $\cos \alpha = \frac{3}{4}$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ и $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций половинного угла $\frac{\alpha}{2}$ воспользуемся формулами половинного угла и данными из условия: $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделим неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ на 2: $ \frac{0}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi/2}{2} $ $ 0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} $ Угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, а значит, все его тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) будут положительными.

$\sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса половинного угла: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} $ Подставляем известное значение $\cos\alpha$: $ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} $ Так как угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\sin\frac{\alpha}{2}$ положителен: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} $
Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

$\cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} $ Подставляем известное значение $\cos\alpha$: $ \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{7}{4}}{2} = \frac{7}{8} $ Так как угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, $\cos\frac{\alpha}{2}$ положителен: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} $ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4} $
Ответ: $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} $ Подставляем найденные значения: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{2}{14}} = \sqrt{\frac{1}{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} $ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7} $
Ответ: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{7}$.

23.21. Используя формулы половинного угла, найдите:

1) $\sin 15^\circ$;

2) $\cos 15^\circ$;

3) $\text{tg } 75^\circ$;

4) $\cos 75^\circ$;

5) $\text{tg } 112^\circ 30'$;

6) $\text{tg } \frac{\pi}{8}$.

1) Для нахождения $ \sin 15^\circ $ воспользуемся формулой синуса половинного угла: $ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} $.
Представим $ 15^\circ $ как $ \frac{30^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 30^\circ $. Угол $ 15^\circ $ находится в первой координатной четверти, поэтому его синус положителен. Выбираем знак «+».
Значение косинуса для $ 30^\circ $ известно: $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2} $.
Чтобы упростить выражение с вложенным корнем $ \sqrt{2-\sqrt{3}} $, преобразуем его:
$ \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \sin 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

2) Для нахождения $ \cos 15^\circ $ воспользуемся формулой косинуса половинного угла: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} $.
Так же, как и в предыдущем пункте, $ 15^\circ = \frac{30^\circ}{2} $, поэтому $ \alpha = 30^\circ $. Угол $ 15^\circ $ находится в первой четверти, его косинус положителен. Выбираем знак «+».
$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} $.
Упростим выражение $ \sqrt{2+\sqrt{3}} $:
$ \sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3 + 2\sqrt{3} + 1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} $.
Следовательно, $ \cos 15^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $.

3) Для нахождения $ \text{tg} 75^\circ $ используем одну из формул тангенса половинного угла: $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Представим $ 75^\circ $ как $ \frac{150^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 150^\circ $.
Найдём значения синуса и косинуса для угла $ 150^\circ $:$ \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
$ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg} 75^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2+\sqrt{3} $.

Ответ: $ 2+\sqrt{3} $.

4) Для нахождения $ \cos 75^\circ $ используем формулу косинуса половинного угла: $ \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} $.
Представим $ 75^\circ $ как $ \frac{150^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 150^\circ $. Угол $ 75^\circ $ находится в первой четверти, его косинус положителен. Выбираем знак «+».
$ \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos 75^\circ = \sqrt{\frac{1+\cos 150^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $. (Расчеты аналогичны пункту 1).

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

5) Для нахождения $ \text{tg} 112^\circ 30' $ используем формулу $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Переведем минуты в градусы: $ 112^\circ 30' = 112.5^\circ $. Представим $ 112.5^\circ $ как $ \frac{225^\circ}{2} $, тогда $ \alpha = 225^\circ $.
Найдём значения синуса и косинуса для угла $ 225^\circ $:$ \cos 225^\circ = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg} 112.5^\circ = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $.
Упростим, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:$ -\frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = -\frac{2\sqrt{2}+2}{2} = -(\sqrt{2}+1) = -1-\sqrt{2} $.

Ответ: $ -1-\sqrt{2} $.

6) Для нахождения $ \text{tg} \frac{\pi}{8} $ используем формулу $ \text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} $.
Представим $ \frac{\pi}{8} $ как $ \frac{\pi/4}{2} $, тогда $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.
Значения синуса и косинуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ равны:$ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставляем в формулу:
$ \text{tg}\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $.
Упростим, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:$ \frac{(2-\sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1 $.

Ответ: $ \sqrt{2}-1 $.

23.22. Упростите выражение:

1) $ \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} $

2) $ \frac{1}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}} $

3) $ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)\sin 2\alpha $

4) $ \frac{1}{1 - \operatorname{tg} \alpha} - \frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha} $

5) $ \frac{4 \operatorname{tg} \alpha (1 - \operatorname{tg}^2 \alpha)}{(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)^2} $

6) $ \frac{\operatorname{tg} 2\alpha \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} 2\alpha - \operatorname{tg} \alpha} $

7) $ \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha + \cos^2 \alpha}{2(1 - \cos \alpha)} $

8) $ 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\right) $

1)

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos\alpha - \cos 3\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}$

В числителе используем формулу синуса разности углов $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sin 3\alpha \cos\alpha - \cos 3\alpha \sin\alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha$

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$.

Подставляем полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2$

Ответ: 2

2)

Рассмотрим знаменатель дроби $\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2}$. Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\ctg\frac{\alpha}{2} - \tg\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)} - \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}$

В числителе получилась формула косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, а в знаменателе часть формулы синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2) = \cos\alpha$

$\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2) = \frac{1}{2}\sin\alpha$

Значит, знаменатель равен: $\frac{\cos\alpha}{\frac{1}{2}\sin\alpha} = 2\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\ctg\alpha$.

Тогда исходное выражение равно:

$\frac{1}{2\ctg\alpha} = \frac{1}{2}\tg\alpha$

Ответ: $\frac{1}{2}\tg\alpha$

3)

Преобразуем выражение в скобках, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\tg\alpha + \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Теперь умножим это на $\sin 2\alpha$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$(\tg\alpha + \ctg\alpha)\sin 2\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha) = 2$

Ответ: 2

4)

Приведем дроби к общему знаменателю $(1-\tg\alpha)(1+\tg\alpha) = 1-\tg^2\alpha$ (формула разности квадратов):

$\frac{1}{1-\tg\alpha} - \frac{1}{1+\tg\alpha} = \frac{(1+\tg\alpha) - (1-\tg\alpha)}{(1-\tg\alpha)(1+\tg\alpha)} = \frac{1+\tg\alpha - 1 + \tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$

Упростим числитель:

$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$

Это формула тангенса двойного угла $\tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$.

Ответ: $\tg 2\alpha$

5)

Преобразуем выражение, выделив известные формулы:

$\frac{4\tg\alpha(1-\tg^2\alpha)}{(1+\tg^2\alpha)^2} = 2 \cdot \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha} \cdot \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

Воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки:

$\sin 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

$\cos 2\alpha = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$

Подставим их в наше выражение:

$2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \cos 2\alpha$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, где $x=2\alpha$:

$2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha$

Ответ: $\sin 4\alpha$

6)

Перевернем дробь и преобразуем ее:

$\frac{\tg 2\alpha - \tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} = \frac{\tg 2\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} - \frac{\tg\alpha}{\tg 2\alpha \tg\alpha} = \frac{1}{\tg\alpha} - \frac{1}{\tg 2\alpha} = \ctg\alpha - \ctg 2\alpha$

Представим котангенсы через синусы и косинусы:

$\ctg\alpha - \ctg 2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha}$

Числитель является формулой синуса разности $\sin(x-y)$:

$\sin 2\alpha \cos\alpha - \cos 2\alpha \sin\alpha = \sin(2\alpha-\alpha) = \sin\alpha$

Тогда перевернутая дробь равна:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$

Поскольку это результат для перевернутой дроби, исходное выражение равно $\sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$

7)

Упростим числитель. Выражение $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha$ является разностью квадратов:

$\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$.

Теперь весь числитель имеет вид:

$(\sin^2\alpha - \cos^2\alpha) + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Исходное выражение становится:

$\frac{\sin^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Тогда:

$\frac{1-\cos^2\alpha}{2(1-\cos\alpha)} = \frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{2(1-\cos\alpha)}$

Сократив $(1-\cos\alpha)$, получим:

$\frac{1+\cos\alpha}{2}$

Это формула косинуса половинного угла: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+\cos\alpha}{2}$.

Ответ: $\cos^2\frac{\alpha}{2}$

8)

Воспользуемся формулой произведения косинусов $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

В нашем случае $A = \frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}$ и $B = \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$.

$A+B = (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) + (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$A-B = (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) - (\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$

Подставляем в формулу:

$2\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}) = \cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})$

Так как $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, выражение равно $\cos\alpha$.

Другой способ: Используем формулу приведения $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x)$.

$\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}) = \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

Тогда исходное выражение примет вид:

$2\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})$

Это формула синуса двойного угла $2\sin A \cos A = \sin(2A)$, где $A = \frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$.

$\sin(2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})) = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$

По формуле приведения, $\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$

23.23. Упростите выражение:

1) $\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha};$

2) $\frac{2 \cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha};$

3) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} + \frac{\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha};$

4) $\left(\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha}\right)\sin 2\alpha;$

5) $(\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha)\sin 2\alpha;$

6) $\frac{\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)}.$

1) Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 2\alpha \cos 2\alpha$:

$\frac{\cos 6\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 6\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

В числителе используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

$\cos 6\alpha \cos 2\alpha + \sin 6\alpha \sin 2\alpha = \cos(6\alpha - 2\alpha) = \cos 4\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\sin 2\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$.

Подставляем упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

$\frac{\cos 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = 2 \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = 2 \cot 4\alpha$.

Ответ: $2 \cot 4\alpha$.

2) Преобразуем знаменатель, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус:

$\cot \alpha - \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.

В числителе полученной дроби используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$.

Знаменатель исходного выражения становится: $\frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2 \cot 2\alpha$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\frac{2 \cos 2\alpha}{2 \cot 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha}{2 \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}} = \sin 2\alpha$.

Ответ: $\sin 2\alpha$.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha) = 1 - \tan^2 \alpha$:

$\frac{\tan \alpha}{1 + \tan \alpha} + \frac{\tan \alpha}{1 - \tan \alpha} = \frac{\tan \alpha (1 - \tan \alpha) + \tan \alpha (1 + \tan \alpha)}{(1 + \tan \alpha)(1 - \tan \alpha)} = \frac{\tan \alpha - \tan^2 \alpha + \tan \alpha + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Упростим числитель:

$\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Это формула тангенса двойного угла: $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$.

Ответ: $\tan 2\alpha$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$:

$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - \sin \alpha) + \cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Упростим числитель: $\frac{2 \cos \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$.

Теперь умножим результат на $\sin 2\alpha$:

$\frac{2}{\cos \alpha} \cdot \sin 2\alpha = \frac{2}{\cos \alpha} \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) = 4 \sin \alpha$.

Ответ: $4 \sin \alpha$.

5) Преобразуем выражение в скобках, выразив котангенсы через синус и косинус:

$\cot \alpha - \cot 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha}$.

В числителе используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

$\cos \alpha \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin \alpha$.

Таким образом, выражение в скобках равно: $\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha}$.

Умножим полученный результат на $\sin 2\alpha$:

$(\frac{1}{\sin 2\alpha}) \cdot \sin 2\alpha = 1$.

Ответ: $1$.

6) Упростим числитель. Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$:

$\cos 2\alpha + 1 - \cos^2 \alpha = \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha$.

Теперь используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$:

$(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

Упростим знаменатель, используя формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$:

$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = -\sin 2\alpha$.

Подставим упрощенные части в исходную дробь:

$\frac{\cos^2 \alpha}{-\sin 2\alpha}$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:

$\frac{\cos^2 \alpha}{-2 \sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{2 \sin \alpha} = -\frac{1}{2} \cot \alpha$.

Ответ: $-\frac{1}{2} \cot \alpha$.