Страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.24. Докажите тождество:

1) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \sin 4\alpha$

2) $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2 \alpha \cos 2\alpha$

3) $\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha$

4) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}{1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}^4 \alpha$

5) $\frac{\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \operatorname{tg} \alpha$

6) $\frac{\cos 4\alpha + 1}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$

7) $\frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 (45^\circ - \alpha)$

1) Докажем тождество: $ \cos^2(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) - \cos^2(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой разности квадратов косинусов, которая является следствием формулы разности квадратов и формул преобразования суммы в произведение: $ \cos^2 x - \cos^2 y = -\sin(x-y)\sin(x+y) = \sin(y-x)\sin(x+y) $.Пусть $ x = \frac{5\pi}{4} - 2\alpha $ и $ y = \frac{5\pi}{4} + 2\alpha $.

Тогда:

$ y-x = (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) - (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) = 4\alpha $

$ x+y = (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) + (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(4\alpha)\sin(\frac{5\pi}{2}) $

Так как $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, то выражение равно:

$ \sin(4\alpha) \cdot 1 = \sin(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ 1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha $

Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $.

$ (1 + \cos 4\alpha) + 2\cos 2\alpha $

Применяя формулу для $ x = 2\alpha $, получаем $ 1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2(2\alpha) $.

Выражение принимает вид:

$ 2\cos^2(2\alpha) + 2\cos 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ 2\cos 2\alpha $ за скобки:

$ 2\cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) $

Снова применим формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $, теперь для $ x = \alpha $, т.е. $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.

$ 2\cos 2\alpha \cdot (2\cos^2 \alpha) = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ \frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg }\alpha $

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части. Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Числитель: $ 1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha $. Используем $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha $ и $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ 2\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $

Знаменатель: $ 1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha $. Используем $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.

$ 2\cos^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ \frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}{1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4 \alpha $

Преобразуем числитель:

$ \sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4(\sin^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) = 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha = 1 - 8\sin^2 \alpha - (1 - 2\sin^2(2\alpha)) = -8\sin^2\alpha + 2\sin^2(2\alpha) $

$ = -8\sin^2\alpha + 2(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = -8\sin^2\alpha + 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 8\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 8\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -8\sin^4\alpha $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-4\cos^4\alpha}{-8\sin^4\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5) Докажем тождество: $ \frac{\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \text{tg }\alpha $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения:

$ \cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \sin(4\alpha) $

$ \sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $

Числитель равен $ \sin(4\alpha)\cos(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, используя формулу $ 1+\cos(2x) = 2\cos^2 x $:

$ (1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha) = (2\cos^2\alpha)(2\cos^2(2\alpha)) = 4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha) $

Составим дробь и упростим:

$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos^2(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos^2\alpha} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

6) Докажем тождество: $ \frac{\cos 4\alpha + 1}{\text{ctg }\alpha - \text{tg }\alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha $

Преобразуем числитель: $ \cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \text{ctg }\alpha - \text{tg }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{2\cos^2(2\alpha)}{\frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{2\cos^2(2\alpha)\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

$ \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

7) Докажем тождество: $ \frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha) $

Преобразуем левую часть, используя $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:

$ \frac{2\cos 2\alpha - 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2\cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha(1 - \sin 2\alpha)}{2\cos 2\alpha(1 + \sin 2\alpha)} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $

Используем $ 1 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha $ и $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

Числитель: $ 1 - \sin 2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)^2 $.

Знаменатель: $ 1 + \sin 2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\cos\alpha + \sin\alpha)^2 $.

Дробь принимает вид:

$ \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\right)^2 $

Разделим числитель и знаменатель выражения в скобках на $ \cos\alpha $:

$ \left(\frac{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1 - \text{tg }\alpha}{1 + \text{tg }\alpha}\right)^2 $

Зная, что $ \text{tg }45^\circ = 1 $, и используя формулу тангенса разности $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg }x - \text{tg }y}{1 + \text{tg }x \text{tg }y} $:

$ \left(\frac{\text{tg }45^\circ - \text{tg }\alpha}{1 + \text{tg }45^\circ \text{tg }\alpha}\right)^2 = (\text{tg}(45^\circ - \alpha))^2 = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

23.25. Докажите тождество:

1) $\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha;$

2) $1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha;$

3) $\frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha;$

4) $\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}.$

1) Преобразуем левую часть тождества, используя формулу разности квадратов синусов: $ \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B) $. В нашем случае $ A = \frac{5\pi}{4} - 4\alpha $ и $ B = \frac{5\pi}{4} + 4\alpha $. Найдем суммы и разности аргументов:
$ A+B = (\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $
$ A-B = (\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = -8\alpha $
Подставим эти значения в формулу:
$ \sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - \sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\frac{5\pi}{2})\sin(-8\alpha) $.
Так как $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(-8\alpha) = -\sin(8\alpha) $, получаем:
$ 1 \cdot (-\sin(8\alpha)) = -\sin(8\alpha) $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества $ 1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha $.
Сгруппируем слагаемые: $ (1 + \cos 6\alpha) - 2\cos 3\alpha $.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. При $ 2x = 6\alpha $, получаем $ x = 3\alpha $.
Тогда $ 1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha $.
Подставим в выражение: $ 2\cos^2 3\alpha - 2\cos 3\alpha $.
Вынесем общий множитель $ 2\cos 3\alpha $ за скобки:
$ 2\cos 3\alpha (\cos 3\alpha - 1) $.
Теперь используем другую формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2y = 1 - 2\sin^2 y $, откуда $ \cos 2y - 1 = -2\sin^2 y $.
При $ 2y = 3\alpha $, получаем $ y = \frac{3\alpha}{2} $.
Следовательно, $ \cos 3\alpha - 1 = -2\sin^2 \frac{3\alpha}{2} $.
Подставим это обратно в наше выражение:
$ 2\cos 3\alpha \cdot (-2\sin^2 \frac{3\alpha}{2}) = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Рассмотрим левую часть тождества $ \frac{\sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)} $.
Преобразуем числитель с помощью формул приведения:
$ \sin(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = -\cos(4\alpha) $.
Тогда числитель равен $ (-\cos(4\alpha))^2 = \cos^2(4\alpha) $.
Преобразуем знаменатель с помощью формул приведения:
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = \text{tg}(2\alpha) $ (III четверть, ctg > 0).
$ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\text{ctg}(2\alpha) $ (IV четверть, tg < 0).
Знаменатель равен $ \text{tg}(2\alpha) - \text{ctg}(2\alpha) $.
Представим знаменатель через синусы и косинусы:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{-(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $.
Используя формулы двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
Знаменатель равен $ \frac{-\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = \frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} $.
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{\cos^2(4\alpha)}{\frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}} = \cos^2(4\alpha) \cdot \frac{\sin(4\alpha)}{-2\cos(4\alpha)} = -\frac{\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)}{2} $.
Используя еще раз формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, имеем $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.
$ -\frac{1}{2}(\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(8\alpha) = -\frac{1}{4}\sin(8\alpha) $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Рассмотрим левую часть тождества $ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} $.
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
Подставим в числитель и знаменатель:
Числитель: $ 2\sin \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha (1 - \cos \alpha) $.
Знаменатель: $ 2\sin \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha (1 + \cos \alpha) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{2\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.
Сократим на $ 2\sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $):
$ \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.
Используем формулы половинного угла (которые следуют из формулы косинуса двойного угла):
$ 1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $
$ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

23.26. Докажите, что $\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = 4$.

23.26.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.

1. Представим тангенс и котангенс через их определения, то есть через синус и косинус:
$\text{tg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$
$\text{ctg } 15^\circ = \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$:
$\frac{\sin 15^\circ \cdot \sin 15^\circ + \cos 15^\circ \cdot \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

3. В числителе дроби мы видим выражение, соответствующее основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Применим это тождество для угла $\alpha = 15^\circ$:
$\frac{1}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

4. Знаменатель дроби напоминает формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$.
Применим это для нашего случая, где $\alpha = 15^\circ$:
$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin 30^\circ}{2}$

5. Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в нашу дробь:
$\frac{1}{\frac{\sin 30^\circ}{2}} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

6. Значение синуса $30^\circ$ является табличной величиной: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили 4, что в точности равно правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = 4$ доказано.

23.27. Докажите, что $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = 2\sqrt{3}$.

Для доказательства тождества $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = 2\sqrt{3}$ преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

1. Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус, используя основные определения $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = \frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ} - \frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 75^\circ \cos 75^\circ$:
$\frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{\sin 75^\circ \cos 75^\circ}$

3. Воспользуемся формулами двойного угла.
Для числителя применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Отсюда следует, что $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.
При $\alpha = 75^\circ$ получаем: $\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$.
Для знаменателя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.
При $\alpha = 75^\circ$ получаем: $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \sin(150^\circ)$.

4. Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:
$\frac{-\cos(150^\circ)}{\frac{1}{2} \sin(150^\circ)}$

5. Вычислим значения $\cos(150^\circ)$ и $\sin(150^\circ)$, используя формулы приведения:
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

6. Подставим эти числовые значения в полученное выражение и выполним вычисления:
$\frac{-(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ$ равна $2\sqrt{3}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

23.28. Дано: $\tan \frac{\alpha}{2} = 6$. Найдите $\sin \alpha - \cos \alpha$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки. Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции угла $\alpha$ через тангенс половинного угла $\tg\frac{\alpha}{2}$.
Формулы для синуса и косинуса выглядят следующим образом:
$\sin \alpha = \frac{2 \tg \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}$
$\cos \alpha = \frac{1 - \tg^2 \frac{\alpha}{2}}{1 + \tg^2 \frac{\alpha}{2}}$
В условии задачи дано, что $\tg\frac{\alpha}{2} = 6$. Подставим это значение в приведенные выше формулы.
Вычислим значение $\sin \alpha$:
$\sin \alpha = \frac{2 \cdot 6}{1 + 6^2} = \frac{12}{1 + 36} = \frac{12}{37}$
Теперь вычислим значение $\cos \alpha$:
$\cos \alpha = \frac{1 - 6^2}{1 + 6^2} = \frac{1 - 36}{1 + 36} = \frac{-35}{37}$
Нам необходимо найти значение выражения $\sin \alpha - \cos \alpha$. Подставим найденные значения синуса и косинуса:
$\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{12}{37} - \left(-\frac{35}{37}\right) = \frac{12}{37} + \frac{35}{37} = \frac{12 + 35}{37} = \frac{47}{37}$
Ответ: $\frac{47}{37}$

23.29. Дано: $ \sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ 135^\circ < \alpha < 180^\circ $. Найдите $ \sin \alpha $.

Поскольку по условию $ 135^\circ < \alpha < 180^\circ $, мы можем определить промежуток для угла $ 2\alpha $, умножив все части неравенства на 2:
$ 2 \cdot 135^\circ < 2\alpha < 2 \cdot 180^\circ $
$ 270^\circ < 2\alpha < 360^\circ $
Этот промежуток соответствует IV координатной четверти. В этой четверти косинус положителен ($ \cos(2\alpha) > 0 $), а синус отрицателен ($ \sin(2\alpha) < 0 $). Условие $ \sin(2\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствует этому.

Теперь найдем значение $ \cos(2\alpha) $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $:
$ \cos^2(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha) = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} $
Так как $ 2\alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен, выбираем положительное значение корня:
$ \cos(2\alpha) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $

Для нахождения $ \sin(\alpha) $ используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $.
Подставим в нее найденное значение $ \cos(2\alpha) $ и решим уравнение относительно $ \sin(\alpha) $:
$ \frac{1}{2} = 1 - 2\sin^2(\alpha) $
$ 2\sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{2} $
$ 2\sin^2(\alpha) = \frac{1}{2} $
$ \sin^2(\alpha) = \frac{1}{4} $
Отсюда получаем два возможных решения: $ \sin(\alpha) = \frac{1}{2} $ или $ \sin(\alpha) = -\frac{1}{2} $.

Чтобы выбрать правильный ответ, вернемся к условию $ 135^\circ < \alpha < 180^\circ $. Этот промежуток соответствует II координатной четверти, в которой синус положителен ($ \sin(\alpha) > 0 $).
Следовательно, выбираем положительное значение.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

23.30. Дано: $sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Найдите $cos \frac{\alpha}{2}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой косинуса половинного угла и основным тригонометрическим тождеством. Решение можно разбить на несколько шагов.

Определение знаков тригонометрических функций

Сначала определим, в каких координатных четвертях лежат углы $\frac{\alpha}{2}$ и $\alpha$, чтобы правильно выбрать знаки для косинуса.

Из условия задачи известно, что $90^\circ < \frac{\alpha}{2} < 135^\circ$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти. Для любого угла во второй четверти его косинус отрицателен. Следовательно, $\cos\frac{\alpha}{2}$ должен быть отрицательным числом.

Теперь найдем, в какой четверти лежит угол $\alpha$. Для этого умножим неравенство для $\frac{\alpha}{2}$ на 2: $2 \cdot 90^\circ < \alpha < 2 \cdot 135^\circ$, что дает $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот диапазон углов соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Это согласуется с условием, что $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, $\cos\alpha$ также должен быть отрицательным.

Нахождение значения $\cos\alpha$

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим из него $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$. Подставим известное значение $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Поскольку мы установили, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, выбираем значение со знаком "минус": $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$.

Нахождение значения $\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь применим формулу понижения степени для косинуса (или формулу косинуса половинного угла): $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$. Подставим в нее найденное значение $\cos\alpha = -\frac{1}{2}$:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{1}{2})}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Из этого следует, что $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$. Как мы определили в самом начале, угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, мы должны выбрать отрицательное значение.

$\cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

23.31. Найдите $ \sin 2\alpha $, если $ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{3} $.

23.31. Нам дано следующее равенство:

$ \cos \alpha + \sin \alpha = \frac{1}{3} $

Необходимо найти значение $ \sin 2\alpha $. Для этого вспомним формулу синуса двойного угла:

$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $

Чтобы получить выражение, содержащее $ \sin \alpha \cos \alpha $, возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$ (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 $

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ \cos^2 \alpha + 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{9} $

Сгруппируем слагаемые и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} $

$ 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} $

Теперь заменим $ 2 \sin \alpha \cos \alpha $ на $ \sin 2\alpha $ согласно формуле синуса двойного угла:

$ 1 + \sin 2\alpha = \frac{1}{9} $

Выразим $ \sin 2\alpha $ из этого уравнения:

$ \sin 2\alpha = \frac{1}{9} - 1 $

$ \sin 2\alpha = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} $

$ \sin 2\alpha = -\frac{8}{9} $

Ответ: $ -\frac{8}{9} $.

23.32. Найдите sin $ \alpha $, если $ \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2} $.

23.32.

Для решения данной задачи воспользуемся известными тригонометрическими формулами. Нам дано уравнение:

$cos\frac{\alpha}{2} - sin\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{2}$

Мы ищем значение $sin\alpha$. Вспомним формулу синуса двойного угла:

$sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$

Если мы примем $x = \frac{\alpha}{2}$, то формула примет вид:

$sin\alpha = 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$

Чтобы найти произведение $sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$, возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(cos\frac{\alpha}{2} - sin\frac{\alpha}{2})^2 = (-\frac{1}{2})^2$

Раскроем левую часть по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$cos^2\frac{\alpha}{2} - 2cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\alpha}{2} + sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4}$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$, поэтому $sin^2\frac{\alpha}{2} + cos^2\frac{\alpha}{2} = 1$:

$(sin^2\frac{\alpha}{2} + cos^2\frac{\alpha}{2}) - 2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4}$

Подставим известные нам выражения: $1$ вместо суммы квадратов и $sin\alpha$ вместо $2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}$:

$1 - sin\alpha = \frac{1}{4}$

Теперь выразим $sin\alpha$ из полученного уравнения:

$-sin\alpha = \frac{1}{4} - 1$

$-sin\alpha = \frac{1}{4} - \frac{4}{4}$

$-sin\alpha = -\frac{3}{4}$

$sin\alpha = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$