Номер 23.25, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.25. Докажите тождество:

1) $\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right) - \sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right) = -\sin 8\alpha;$

2) $1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha = -4\sin^2\frac{3\alpha}{2}\cos 3\alpha;$

3) $\frac{\sin^2\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right) + \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right)} = -\frac{1}{4}\sin 8\alpha;$

4) $\frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}.$

1) Преобразуем левую часть тождества, используя формулу разности квадратов синусов: $ \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B) $. В нашем случае $ A = \frac{5\pi}{4} - 4\alpha $ и $ B = \frac{5\pi}{4} + 4\alpha $. Найдем суммы и разности аргументов:
$ A+B = (\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) + (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $
$ A-B = (\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - (\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = -8\alpha $
Подставим эти значения в формулу:
$ \sin^2(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha) - \sin^2(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha) = \sin(\frac{5\pi}{2})\sin(-8\alpha) $.
Так как $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(-8\alpha) = -\sin(8\alpha) $, получаем:
$ 1 \cdot (-\sin(8\alpha)) = -\sin(8\alpha) $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества $ 1 - 2\cos 3\alpha + \cos 6\alpha $.
Сгруппируем слагаемые: $ (1 + \cos 6\alpha) - 2\cos 3\alpha $.
Используем формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x $. При $ 2x = 6\alpha $, получаем $ x = 3\alpha $.
Тогда $ 1 + \cos 6\alpha = 2\cos^2 3\alpha $.
Подставим в выражение: $ 2\cos^2 3\alpha - 2\cos 3\alpha $.
Вынесем общий множитель $ 2\cos 3\alpha $ за скобки:
$ 2\cos 3\alpha (\cos 3\alpha - 1) $.
Теперь используем другую формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2y = 1 - 2\sin^2 y $, откуда $ \cos 2y - 1 = -2\sin^2 y $.
При $ 2y = 3\alpha $, получаем $ y = \frac{3\alpha}{2} $.
Следовательно, $ \cos 3\alpha - 1 = -2\sin^2 \frac{3\alpha}{2} $.
Подставим это обратно в наше выражение:
$ 2\cos 3\alpha \cdot (-2\sin^2 \frac{3\alpha}{2}) = -4\sin^2 \frac{3\alpha}{2} \cos 3\alpha $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Рассмотрим левую часть тождества $ \frac{\sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2})}{\text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) + \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha)} $.
Преобразуем числитель с помощью формул приведения:
$ \sin(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = -\cos(4\alpha) $.
Тогда числитель равен $ (-\cos(4\alpha))^2 = \cos^2(4\alpha) $.
Преобразуем знаменатель с помощью формул приведения:
$ \text{ctg}(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = \text{tg}(2\alpha) $ (III четверть, ctg > 0).
$ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) = -\text{ctg}(2\alpha) $ (IV четверть, tg < 0).
Знаменатель равен $ \text{tg}(2\alpha) - \text{ctg}(2\alpha) $.
Представим знаменатель через синусы и косинусы:
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{-(\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $.
Используя формулы двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
Знаменатель равен $ \frac{-\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)} = \frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} $.
Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{\cos^2(4\alpha)}{\frac{-2\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)}} = \cos^2(4\alpha) \cdot \frac{\sin(4\alpha)}{-2\cos(4\alpha)} = -\frac{\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)}{2} $.
Используя еще раз формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, имеем $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.
$ -\frac{1}{2}(\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(8\alpha) = -\frac{1}{4}\sin(8\alpha) $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

4) Рассмотрим левую часть тождества $ \frac{2\sin \alpha - \sin 2\alpha}{2\sin \alpha + \sin 2\alpha} $.
Применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $.
Подставим в числитель и знаменатель:
Числитель: $ 2\sin \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha (1 - \cos \alpha) $.
Знаменатель: $ 2\sin \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha (1 + \cos \alpha) $.
Дробь принимает вид: $ \frac{2\sin \alpha (1 - \cos \alpha)}{2\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} $.
Сократим на $ 2\sin \alpha $ (при условии, что $ \sin \alpha \neq 0 $):
$ \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $.
Используем формулы половинного угла (которые следуют из формулы косинуса двойного угла):
$ 1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $
$ 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} $
Подставим эти выражения в дробь:
$ \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.