Номер 23.24, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.24. Докажите тождество:

1) $\cos^2\left(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha\right) - \cos^2\left(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha\right) = \sin 4\alpha$

2) $1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2 \alpha \cos 2\alpha$

3) $\frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \operatorname{tg} \alpha$

4) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}{1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\operatorname{ctg}^4 \alpha$

5) $\frac{\cos\left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha\right)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \operatorname{tg} \alpha$

6) $\frac{\cos 4\alpha + 1}{\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha$

7) $\frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \operatorname{tg}^2 (45^\circ - \alpha)$

1) Докажем тождество: $ \cos^2(\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) - \cos^2(\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой разности квадратов косинусов, которая является следствием формулы разности квадратов и формул преобразования суммы в произведение: $ \cos^2 x - \cos^2 y = -\sin(x-y)\sin(x+y) = \sin(y-x)\sin(x+y) $.Пусть $ x = \frac{5\pi}{4} - 2\alpha $ и $ y = \frac{5\pi}{4} + 2\alpha $.

Тогда:

$ y-x = (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) - (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) = 4\alpha $

$ x+y = (\frac{5\pi}{4} - 2\alpha) + (\frac{5\pi}{4} + 2\alpha) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2} $

Подставляем эти значения в формулу:

$ \sin(4\alpha)\sin(\frac{5\pi}{2}) $

Так как $ \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $, то выражение равно:

$ \sin(4\alpha) \cdot 1 = \sin(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ 1 + 2\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha $

Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулу косинуса двойного угла в виде $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $.

$ (1 + \cos 4\alpha) + 2\cos 2\alpha $

Применяя формулу для $ x = 2\alpha $, получаем $ 1 + \cos 4\alpha = 2\cos^2(2\alpha) $.

Выражение принимает вид:

$ 2\cos^2(2\alpha) + 2\cos 2\alpha $

Вынесем общий множитель $ 2\cos 2\alpha $ за скобки:

$ 2\cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) $

Снова применим формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x $, теперь для $ x = \alpha $, т.е. $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.

$ 2\cos 2\alpha \cdot (2\cos^2 \alpha) = 4\cos^2\alpha \cos 2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество: $ \frac{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha} = \text{tg }\alpha $

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части. Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество.

Числитель: $ 1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha $. Используем $ 1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha $ и $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.

$ 2\sin^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha) $

Знаменатель: $ 1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha $. Используем $ 1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha $.

$ 2\cos^2 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$ \frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \cos\alpha)}{2\cos\alpha(\cos\alpha + \sin\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4) Докажем тождество: $ \frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4}{1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4 \alpha $

Преобразуем числитель:

$ \sin^2 2\alpha + 4\sin^2 \alpha - 4 = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4(\sin^2\alpha - 1) = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) = 4\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) = -4\cos^4\alpha $

Преобразуем знаменатель:

$ 1 - 8\sin^2 \alpha - \cos 4\alpha = 1 - 8\sin^2 \alpha - (1 - 2\sin^2(2\alpha)) = -8\sin^2\alpha + 2\sin^2(2\alpha) $

$ = -8\sin^2\alpha + 2(2\sin\alpha\cos\alpha)^2 = -8\sin^2\alpha + 8\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 8\sin^2\alpha(\cos^2\alpha - 1) = 8\sin^2\alpha(-\sin^2\alpha) = -8\sin^4\alpha $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{-4\cos^4\alpha}{-8\sin^4\alpha} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos^4\alpha}{\sin^4\alpha} = \frac{1}{2}\text{ctg}^4\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5) Докажем тождество: $ \frac{\cos(4\alpha - \frac{\pi}{2})\sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha)}{(1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha)} = \text{tg }\alpha $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения:

$ \cos(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - 4\alpha) = \sin(4\alpha) $

$ \sin(\frac{5\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = \cos(2\alpha) $

Числитель равен $ \sin(4\alpha)\cos(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, используя формулу $ 1+\cos(2x) = 2\cos^2 x $:

$ (1 + \cos 2\alpha)(1 + \cos 4\alpha) = (2\cos^2\alpha)(2\cos^2(2\alpha)) = 4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha) $

Составим дробь и упростим:

$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\cos(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos^2(2\alpha)}{4\cos^2\alpha\cos^2(2\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha)}{2\cos^2\alpha} $

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg }\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

6) Докажем тождество: $ \frac{\cos 4\alpha + 1}{\text{ctg }\alpha - \text{tg }\alpha} = \frac{1}{2}\sin 4\alpha $

Преобразуем числитель: $ \cos 4\alpha + 1 = 2\cos^2(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель:

$ \text{ctg }\alpha - \text{tg }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = \frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $

Разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{2\cos^2(2\alpha)}{\frac{2\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}} = \frac{2\cos^2(2\alpha)\sin(2\alpha)}{2\cos(2\alpha)} = \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, откуда $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) $.

$ \cos(2\alpha)\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

7) Докажем тождество: $ \frac{2\cos 2\alpha - \sin 4\alpha}{2\cos 2\alpha + \sin 4\alpha} = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha) $

Преобразуем левую часть, используя $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:

$ \frac{2\cos 2\alpha - 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2\cos 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha(1 - \sin 2\alpha)}{2\cos 2\alpha(1 + \sin 2\alpha)} = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha} $

Используем $ 1 = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha $ и $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

Числитель: $ 1 - \sin 2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = (\cos\alpha - \sin\alpha)^2 $.

Знаменатель: $ 1 + \sin 2\alpha = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\cos\alpha + \sin\alpha)^2 $.

Дробь принимает вид:

$ \frac{(\cos\alpha - \sin\alpha)^2}{(\cos\alpha + \sin\alpha)^2} = \left(\frac{\cos\alpha - \sin\alpha}{\cos\alpha + \sin\alpha}\right)^2 $

Разделим числитель и знаменатель выражения в скобках на $ \cos\alpha $:

$ \left(\frac{1 - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\right)^2 = \left(\frac{1 - \text{tg }\alpha}{1 + \text{tg }\alpha}\right)^2 $

Зная, что $ \text{tg }45^\circ = 1 $, и используя формулу тангенса разности $ \text{tg}(x-y) = \frac{\text{tg }x - \text{tg }y}{1 + \text{tg }x \text{tg }y} $:

$ \left(\frac{\text{tg }45^\circ - \text{tg }\alpha}{1 + \text{tg }45^\circ \text{tg }\alpha}\right)^2 = (\text{tg}(45^\circ - \alpha))^2 = \text{tg}^2(45^\circ - \alpha) $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.