Номер 23.27, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.27. Докажите, что $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = 2\sqrt{3}$.

Для доказательства тождества $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = 2\sqrt{3}$ преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы.

1. Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус, используя основные определения $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $\text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ = \frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ} - \frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю $\sin 75^\circ \cos 75^\circ$:
$\frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{\sin 75^\circ \cos 75^\circ}$

3. Воспользуемся формулами двойного угла.
Для числителя применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Отсюда следует, что $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -\cos(2\alpha)$.
При $\alpha = 75^\circ$ получаем: $\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$.
Для знаменателя применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.
При $\alpha = 75^\circ$ получаем: $\sin 75^\circ \cos 75^\circ = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 75^\circ) = \frac{1}{2} \sin(150^\circ)$.

4. Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в выражение:
$\frac{-\cos(150^\circ)}{\frac{1}{2} \sin(150^\circ)}$

5. Вычислим значения $\cos(150^\circ)$ и $\sin(150^\circ)$, используя формулы приведения:
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

6. Подставим эти числовые значения в полученное выражение и выполним вычисления:
$\frac{-(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3}$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $\text{tg } 75^\circ - \text{ctg } 75^\circ$ равна $2\sqrt{3}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.