Номер 23.33, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.33. Упростите выражение:

1) $\cos^4 \alpha - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha;$

2) $\frac{\cos 2\alpha}{\operatorname{ctg} \alpha - \sin 2\alpha};$

3) $\frac{2\sin 4\alpha (1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha)}{1 + \operatorname{ctg}^2 \left(\frac{\pi}{2} + 2\alpha\right)};$

4) $\frac{2\cos^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}.$

1) Преобразуем данное выражение, выделив в нем известные тригонометрические формулы. Перегруппируем члены:
$\cos^4 \alpha - 6 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = (\cos^4 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha) - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.
Первые три слагаемых образуют формулу квадрата разности $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2$, а последний член является квадратом синуса двойного угла $(2 \sin \alpha \cos \alpha)^2$.
Таким образом, выражение равно: $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)^2 - (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2$.
Применяя формулы косинуса и синуса двойного угла ($\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$), получаем:
$\cos^2(2\alpha) - \sin^2(2\alpha)$.
Это снова формула косинуса двойного угла для аргумента $2\alpha$, которая равна $\cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos(4\alpha)$.
Ответ: $\cos(4\alpha)$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{\cos 2\alpha}{\text{ctg } \alpha - \sin 2\alpha}$. Упростим знаменатель, выразив все функции через $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.
$\text{ctg } \alpha - \sin 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Приводим к общему знаменателю: $\frac{\cos \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (1 - 2 \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha}$.
Так как $1 - 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$, знаменатель равен $\frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha}$.
Подставляем упрощенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{\cos 2\alpha}{\frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha}} = \cos 2\alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos 2\alpha}$.
Сокращая на $\cos 2\alpha$ (при условии, что он не равен нулю), получаем:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha$.
Ответ: $\text{tg } \alpha$.

3) Упростим выражение $\frac{2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{1 + \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} + 2\alpha)}$.
Сначала преобразуем знаменатель. Используя формулу приведения $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + x) = -\text{tg} x$, получаем:
$1 + \text{ctg}^2(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 1 + (-\text{tg}(2\alpha))^2 = 1 + \text{tg}^2(2\alpha)$.
Далее, используя тождество $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$, знаменатель становится равен $\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha)}{\frac{1}{\cos^2(2\alpha)}} = 2 \sin 4\alpha (1 - \text{tg}^2 2\alpha) \cos^2(2\alpha)$.
Заменим $\text{tg}^2 2\alpha = \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}$:
$2 \sin 4\alpha \left(1 - \frac{\sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}\right) \cos^2(2\alpha) = 2 \sin 4\alpha \left(\frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\cos^2 2\alpha}\right) \cos^2(2\alpha)$.
Сократив $\cos^2(2\alpha)$, получим: $2 \sin 4\alpha (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)$.
Выражение в скобках - это косинус двойного угла: $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha)$.
Выражение принимает вид: $2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha$.
Это формула синуса двойного угла: $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, для $x=4\alpha$.
$2 \sin 4\alpha \cos 4\alpha = \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha)$.
Ответ: $\sin(8\alpha)$.

4) Упростим выражение $\frac{2 \cos^2 \alpha - 1}{2 \text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) \sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$.
Числитель является формулой косинуса двойного угла: $2 \cos^2 \alpha - 1 = \cos(2\alpha)$.
Преобразуем знаменатель. Распишем котангенс по определению: $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
$2 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Сократив на $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, получим: $2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$.
Это формула синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$, где $x = \frac{\pi}{4} - \alpha$:
$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 2\alpha\right)$.
Используя формулу приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - y) = \cos y$, получаем, что знаменатель равен $\cos(2\alpha)$.
Теперь вся дробь имеет вид:
$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$.
Ответ: $1$.