Номер 23.26, страница 176 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.26. Докажите, что $\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = 4$.

23.26.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть.

1. Представим тангенс и котангенс через их определения, то есть через синус и косинус:
$\text{tg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ}$
$\text{ctg } 15^\circ = \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$
Таким образом, исходное выражение принимает вид:
$\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} + \frac{\cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю, которым является произведение $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$:
$\frac{\sin 15^\circ \cdot \sin 15^\circ + \cos 15^\circ \cdot \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ} = \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

3. В числителе дроби мы видим выражение, соответствующее основному тригонометрическому тождеству: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Применим это тождество для угла $\alpha = 15^\circ$:
$\frac{1}{\sin 15^\circ \cos 15^\circ}$

4. Знаменатель дроби напоминает формулу синуса двойного угла: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы можно выразить произведение синуса на косинус: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$.
Применим это для нашего случая, где $\alpha = 15^\circ$:
$\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{\sin(2 \cdot 15^\circ)}{2} = \frac{\sin 30^\circ}{2}$

5. Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в нашу дробь:
$\frac{1}{\frac{\sin 30^\circ}{2}} = \frac{2}{\sin 30^\circ}$

6. Значение синуса $30^\circ$ является табличной величиной: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$

Мы преобразовали левую часть равенства и получили 4, что в точности равно правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $\text{tg } 15^\circ + \text{ctg } 15^\circ = 4$ доказано.